INEGALITATEA MEDIILOR

                      Pentru a si b >0 notãm   ma =, mg  =, mh =, mp = ;
● Ma se numeºte media aritmeticã a numerelor a si b;
● Mg se numeºte media geometricã a numerelor a si b; 
● Mh  se numeºte media armonicã a numerelor a si b;  
● Mp se numeºte media patraticã a numerelor a si b; 
Printr-un calcul simplu se aratã cã :
min(a,b) mh mg  ma  mp  max(a,b) cu egalitate dacã ºi numai dacã a = b;
                     In continuare vom demonstra geometric unele dintre acestea:
	               1 . Considerãm un triunghi dreptunghic avâd ipotenuza BC ºi CD=a, DB=b iar 

                     AD  BC. Evident mediana AM = iar 
                     înaltimea AD = .Avem AM  AD  cu egalitate
când M=D adicã a=b. Deci ma  mg ;

2. In triunghiul dreptunghic ABC , se considerã un punct P pe ipotenuza (BC). Demonstraþi cã AP2=
Fie AD înalþime,deci AD medianã 	ºi AD =BC/2=(BP+PC)/2.Presupunem 
	CP  PD deci PD =CP – CD =CP – BC /2= CP –  (CP+BP) /2=(CP – BP ) /2;

 

           In triunghiul dreptunghic ADP avem AP2 =AD2 +DP2  adicã:
                      AP2= 
                     Comentariu 
Evident   AD=cu egalitate pentru PB=PC.
Rezultã inegalitatea ma  mp;
Aceastã este o justificare geometricã a inegalitãþii dintre media aritmeticã ºi cea pãtraticã a douã numere pozitive. Construcþia este urmãtoarea:Se construiesc segmentele CP=a si PB=b . Se construieºte cercul de diametru BC (BC=a+b),se construieºte mediatoarea segmentului [BC]. Intersecþia dintre cerc ºi mediatoare este punctul A. Lungimea segmentului [AP] va reprezenta media patraticã a 
lui a si b.  
3.  Se considera un trapez dreptunghic având bazele a si b iar înãlþimea AB=2.Cercul de diametru AB este tangent laturii CD în punctul T. 
Fie  M mijlocul lui CD, CN | | AB atunci MO=, OT=,PT=.
                                                                                      
Evident  PT < TO < MO adica mh  mg  ma

                                                                                Elev : Ursu Bogdan – Radu
                                                                                Clasa: a IX –a  B