Rezolvarea ecuaţiilor diofantice

Orice congruenţă ax1+c0 (mod b) se poate scrie ca o ecuaţie ax1+bx2+c=0 (în care a 0), b1 şi c, x1, x2 sunt numere întregi. Dacă a, b, c sunt numere întregi date şi x1 şi x2 sunt considerate necunoscute, problema se reduce la găsirea soluţiilor întregi ale unei ecuaţii liniare cu coeficienţi întregi. Daca f(x1,…, xn) este un polinom în x1,…, xn cu coeficienţi întregi, atunci ecuaţia f(x1,…, xn) = A se numeşte diofantică dacă soluţiile ei sunt numere întregi. Denumirea acestor ecuaţii derivă de la numele matematicianului grec Diofantos din Alexandria. Dacă o astfel de ecuaţie admite soluţii, atunci ea admite o infinitate de n-upluri care o satisfac.

În continuare se va trata cazul  n=2: ax+by=c

Dacă a şi b sunt numere prime între ele şi x0, y0 constituie o soluţie pentru ax+by=c, atunci totalitatea soluţiilor se poate reprezenta sub forma: x= x0+bt, y= y0 –at, unde t este un număr întreg oarecare. O soluţie a ecuaţiei se poate obţine cu ajutorul penultimei fracţii de aproximare pentru reprezentarea sub formă de fracţie continuă a lui a/b. Considerând că penultima fracţie este m/n, x0=nc, y0=-mc.

Exemplu:

Fie ecuaţia: 43x+19y=2.

Fracţiile de aproximare ale lui 43/19 sunt: 7/3, 9/4, 43/19.

Din fracţia 9/4 se obţine x0=4*2=8, y0=-9*2=-18. Astfel, soluţia generală se poate scrie de forma: x=8+19t şi y=-18-43t, unde t este un număr oarecare.

Implementare

Algoritmul de mai sus este valabil, după cum am precizat, în cazul când cele 2 numere a şi b sunt prime între ele. Dacă dorim rezolvarea unei ecuaţii în care cele 2 numere nu sunt neapărat prime între ele, se poate proceda în felul următor: se calculează cel mai mare divizor comun al lor (sigur este diferit de 1), iar apoi se evaluează dacă ecuaţie poate sau nu avea soluţii, în funcţie de valoarea lui c. Dacă c este divizibil cu cmmdc-ul celor 2 numere, atunci se simplifică întreaga ecuaţie cu cmmdc şi problema se reduce la cea prezentată mai sus. Dacă c nu se împarte exact la cmmdc, atunci putem spune că ecuaţia nu are soluţii întregi.

Pe lângă aceasta, intervin o serie de cazuri critice în care algoritmul de mai sus nu poate fi aplicat, cum ar fi de exemplu cazurile în care nu există penultima fracţie. Dar se poate calcula soluţia şi în aceste cazuri:

•	a=0, b=0
În acest caz soluţia depinde valoarea lui c:
•	c=0   =>   x şi y poate fi orice număr întreg
•	c  0 =>  nu există soluţii
•	a=0, b 0
Ecuaţia devine: by=c. Deci y se poate calcula, ţinând însă cont că vorbim numai de numere întregi.
•	a0, b= 0
Analog cu cazul anterior.

Dacă unul dintre numerele a sau b are valoarea 1 nu se mai poate vorbi de penultima fracţie de aproximare, deci şi aceste cazuri trebuie tratate separat.

O altă observaţie este aceea că fracţia de aproximare (m/n) aproximează fracţia (a/b) în plus sau în minus. De aceea în la sfârşit trebuie să corectez rezultatul în funcţie de aceasta, ţinând seama şi de semnul fracţiei a/b.

Sursa programului

#include <stdio.h>
#include <conio.h>
#include <math.h>

long int v[100];

//obtine penultima fractie de aproximare
void get_mn(long int &a,long int &b,int k)
{
 if (k>0) { long int aux=v[k-1]*b+a;
            a=b;b=aux;
            get_mn(a,b,k-1);
          }
     else a=a+b-(b=a);
}

long int _cmmdc(long int a,long int b)
{
 while (a!=b)
  if (a>b) a-=b;
      else b-=a;
 return a;
}

void stop()
{
 printf("Nu exista solutii...\n");
}

int solutii(long int a,long int b,long int c,
            long int &x0,long int &n1,long int &y0,long int &n2)
{
 long int m,n,cmmdc=1,_a,_b;
 int nr=-1;

 _a=labs(a);_b=labs(b);
 if ((_a>1)&&(_b>1)) cmmdc=_cmmdc(_a,_b);
 if (cmmdc!=1){
   if (c%cmmdc) {stop();return 0;}
           else a/=cmmdc,b/=cmmdc,c/=cmmdc;
  }
 m=a;n=b;
 if (!(a*b))
  if (!a) if (!b)
  {
   //0=c
    if (!c) printf("x,yZ\n");
       else stop();
    return 0;
  }
   else
   { // by=c
     if (c%b) stop();
         else { printf("xZ\n");
                printf("y=%ld\n",c/b);
               }
     return 0;
   }
   else
   { //ax=c
     if (c%a) stop();
         else {printf("x=%ld\n",c/a);
               printf("yZ\n");
              }
     return 0;
   }

 if (labs(m)==1)
   { // inseamna ca este de forma x+b*y=c, deci nu exista
     // penultima fractie de aproximare
     x0=c*m;n1=-b*m;
     y0=0;n2=1;
     return 1;
    }
 else
 if (labs(n)==1)
   { // inseamna ca este de forma a*xy=c, deci nu exista
     // penultima fractie de aproximare
     x0=0;n1=1;
     y0=c*n;n2=-a*n;
     return 1;
    }

 // m si n sunt diferite de 1, si diferite intre ele
 m=labs(m);n=labs(n);
 while (m!=1){
    if (m>n){ v[++nr]=m/n;
              m-=m/n*n;
             }
    else if (m<n) m=m+n-(n=m);
 }

 n=v[nr];
 get_mn(m,n,nr);
 if (_a<_b) m=m+n-(n=m);

 //in functie de fractia de aproximare corectez rezultatul
 if (a*b>0) if (_a*n<_b*m) c=-c;
 if (a*b<0) if (_a*n>_b*m) c=-c;
 if (a<0) m=-m;
 if (b<0) n=-n;

 x0=n*c;n1=b;
 y0=-m*c;n2=-a;
 return 1;
}

void main(void)
{

 long int a,b,c,x0,y0,n1,n2;

 do{
 clrscr();
 puts("Se rezolva ecuatia: ax+by=c, a,b,x,y,cîZ");
 printf("a=");scanf("%ld",&a);fflush(stdin);
 printf("b=");scanf("%ld",&b);fflush(stdin);
 printf("c=");scanf("%ld",&c);fflush(stdin);
 printf("----------------------------------------\n");

 if (solutii(a,b,c,x0,n1,y0,n2)){
 if (!x0) if (labs(n1)!=1) printf("x=%ldt\n",n1);
                     else printf("x=%st\n",n1<0?"-":"");
 else if (labs(n1)!=1) printf("x=%ld%+ldt\n",x0,n1);
                     else printf("x=%ld%st\n",x0,n1<0?"-":"");

 if (!y0) if (labs(n2)!=1) printf("y=%ldt\n",n2);
                     else printf("y=%st\n",n2<0?"-":"");
 else if (labs(n2)!=1) printf("y=%ld%+ldt\n",y0,n2);
                     else printf("y=%ld%st\n",y0,n2<0?"-":"");

 printf("unde t este un numar intreg\n");}
 puts("Apasati o tasta (x pentru a termina)...");
 c=getch();
 }while (c!='x');
}