ࡱ> 7 @CbjbjUU 27|7|P2Ulppp8DCD(l"aaa$E eJMa]01aaa5kϦ5k5k5ka5ka5k5kGoF| f8 Б0FNvphJTf$0CTkf5k CUPRINS Pag. Capitolul 1. Nociuni generale despre funccii Nociunea de funccie & & & & & & & & & & & & & & & & & & 2 Graficul unei funccii & & & & & & & & & & & & & & & & & & 5 Paritatea funcciilor & & & & & & & & & & & & & & & & & & .. 5 Monotonia funcciilor & & & & & & & & & & & & .& & & & & .. 6 Valori extreme ale unei funccii. Funccie mrginit & & & & & & .7 Bijectivitate & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & . 9 Inversabilitate & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..9 Operacii cu funccii & & & & & & & & & & & & & & & & & & . 10 Compunerea funcciilor & & & & & & & & & & & & & & & & ... 11 Capitolul 2. Funccii particulare Funccia de gradul I & & & & & & & & & & & & & & & & & & 13 Funccia de gradul al doilea & & & & & & & & & & & & & & & 14 Alte funccii numerice & & & & & & & & & & & & & & & & & 15 Funccia exponencial & & & & & & & & & & & & & & & & & . 17 Funccia logaritmic & & & & & & & & & & & & & & & & & ... 18 Funccia trigonometric direct & & & & & & & & & & & & & .. 19 Funccia trigonometric invers & & & & & & & & & & & & & .. 21 FUNCbII DEFINIbIE. NOTAbIE.   Mulcimea A se nume_te domeniul de definicie a funcciei (. B se nume_te mulcimea n care funccia ia valori sau codomeniul funcciei (. Dac ( este o funccie de la A la B, atunci se mai spune c ( este o aplicacie de la A la B. De obicei funcciile se noteaz cu litere mici (, g, h, & Mulcimea funcciilor de la A la B se noteaz cu F (A, B).  MODURI DE A DEFINI O FUNCbIE. Indiferent de modul n care este definit o funccie trebuie precizate cele trei elemente care o caracterizeaz: domeniul de definicie, codomeniul _i legea de corespondenc. 1. FUNCbII DEFINITE SINTETIC corespund acelor funccii f : A( B pentru care se indic fiecrui element x din A elementul y = f (x) din B. Acest lucru se poate face fie cu ajutorul diagramei cu sgeci, fie cu ajutorul tabelului de valori sau printr-un tablou. Acest mod de a defini o funccie se utilizeaz cnd A este o mulcime finit. EXEMPLE. 1) Fie f : {1, 2, 3} ( {a,b} definit prin f (1) = f (2) = a, f (3) = b. n diagrama cu sgeci sunt reprezentate mulcimile prin diagrame, iar legea de corespondenc prin sgeci.  A B Faptul c fiecrui element x din A i corespunde un unic Element y = f (x) din B nseamn pentru diagrama cu sgeci c din fiecare element din A pleac o singur sgeat. Cum pentru elementele codomeniului nu avem nici o exigenc nseamn c ntr-un astfel de element pot ajunge una, mai multe sgeci sau niciuna. Aceea_i funccie o putem defini utiliznd tabelul de valori. Acesta este format din dou linii. n prima linie se trec elemetele mulcimii pe care este definit funccia, iar n a doua linie valorile funcciei n aceste elemente. Pentru cazul analizat tabelul arat astfel:  x 1 2 3  y = f (x) a a b 2) Funccia ( : {1, 2, 3, 4} ( {1, 2, 3, 4} definit prin ((1) = 3, ((2) = 1, ((3) = 4, ((4) = 2 poate fi reprezentat sub forma unui tablou unde n rpima linie avem domeniul de definicie,  1 2 3 4 ( = 3 1 4 2 iar n linia a doua sunt valorile funcciei n punctele domeniului (3 este valoarea lui ( n x = 1, 1 este valoarea lui ( n x = 2, etc.). O astfel de funccie se nume_te permutare de gradul patru. OBSERVAbIE. Nu putem defini sintetic o funccie al crui domeniu de definicie are o infinitate de elemente. 2. FUNCbII DEFINITE ANALITIC. Funcciile ( : A( B definite cu ajutorul unei (unor) formule sau a unor proprietci sunt funccii definite analitic. Corespondenca ( leag ntre ele elementul arbitrar x din A de imaginea sa ((x). EXEMPLE. 1) Fie funccia ( : R ( R, ((x) = x2. Aceast funccie asociaz fiecrui numr real x patratul lui, x2. Funccia ( : Z ( Z, ((x) = x - 1, dac x este par x + 1, dac x este impar, este exemplu de funccie definit prin dou formule. Funcciile definite prin mai multe formule se numesc funccii multiforme. OBSERVAbIE. n cazul funcciilor multiforme, fiecare formul este valabil pe o anumit submulcime a lui A _i deci dou formule nu pot fi folosite pentru determinarea imaginea unuia _i aceluia_ element. Cea mai frecvent reprezentare a unei funccii n matematic este printr-o formul. n acest caz, elementele domeniului de definicie _i ale domeniului valorilor nu pot fi dect numere sau  obiecte matematice pentru care s-au introdus reeguli de calcul corespunztoare. De exemplu: y = 3x  2. Cnd asupra domeniului de definicie nu s-au fcut ipoteze speciale, se consider ca fcnd parte din acesta toate numerele reale, crora din formula respectiv li se pune n corespondenc o anumit valoare. n cazul funcciei y = 3x  2, domeniul de definicie este alctuit din mulcimea numerelor reale.  IMAGINEA UNEI FUNCbII. PREIMAGINEA UNEI FUNCbII. Fie ( : A ( B. Din definicia funcciei, fiecrui element x ( A I se asociaz prin funccia ( un unic element ((x) ( B, numit imaginea lui x prin ( sau valoarea funcciei ( n x.    EXEMPLE. Considerm funccia ( : {1, 2, 3, 4} ( {a,b,c,d} dat prin diagrama cu sgeci.  Fie A = {1, 2, 3}. Atunci ((A ) = {((1), ((2), ((3)} = {a,c}  A B   EXEMPLE. n funccia ( : {-1, 0, 1, 2} ( {a, b, c, d, e} definit cu ajutorul diagramei cu sgeci. Atunci Im( = {((-1), ((0), ((1), ((2)} = {a, b, c} ( B.      A B EXEMPLE. Se consider funccia ( : {-1, 0, 1, 2} ( {1, 2, 3} definit prin diagrama cu sgeci. n acest caz, (-1({1}) = {0}, deoarece ((0) = 1; (-1({2}) = {-1, 1} pentru c ((-1) = ((1) = 2; (-1({1,2}) = {-1, 0, 1}, deoarece ((-1) = 2, ((0) = 1, ((1) = 2.  A B GRAFICUL UNEI FUNCbII.  Se observ c G( ( A x B.  EXEMPLE. 1) Fie funccia ( : A ( B, definit prin diagrama alturat. Graficul funcciei ( este mulcimea G( = {(1, a), (2, a), (3, b)}. A ( B Fie funccia numeric ( : A ( B definit prin tabelul de valori.  x -1 0 1 2 n acest caz, graficul lui ( este mulcimea  G( = {(-1, 2), (0, 3), (1, -2), (2, 0)}. ((x) 2 3 -2 0 REPREZENTAREA GRAFIC A UNEI FUNCbII NUMERICE. Dac funccia ( : A ( B este o funccie numeric, atunci la produsul cartezian A x B ( R x R, unui cuplu (x, y) din A x B i se poate asocia n planul n care se consider un reper cartezian (planul cartezian) un punct M(x, y) (punctul M avnd coordonatele x, y, componentele cuplului). Cum mulcimea R x R se reprezint geometric prin planul cartezian, se poate deduce c: graficul funcciei numerice se reprezint geometric printr-o anumit submulcime a planului. Aceast submulcime a planului se nume_te reprezentarea geometric a graficului funcciei. Reprezentarea grafic a unei funccii ( : A ( B este,  n general, o curb, numit curba reprezentativ a funcciei ( _i notat C( = {M (x, y) (x ( A, y = ((x)}. Prin abuz de limbaj, n loc de reprezentarea geometric a unei funccii vom spune simplu graficul funcciei (.   EXEMPLE. Funccia ( : {-1, 0, 1} ( R, ((x) = 2x are graficul G( = {(-1, -2), (0, 0), (1, 2)}, iar reprezentarea grafic este format din trei puncte: A(-1, -2), O(0, 0), B(1, 2). FUNCbII PARE. FUNCbII IMPARE.  OBSERVAbII. ( par ( Gf simetric fac de Oy ( impar ( Gf simetric fac de O (originea axelor). MONOTONIA FUNCbIILOR. Fie ( : A ( R, o funccie de variabil real _i I ( A.   O funccie ( strict cresctoare pe I sau strict descresctoare pe I se nume_te strict monoton pe I.   O funccie ( cresctoare pe I sau descresctoare pe I se nume_te monoton pe I. Dac ( este strict monoton (sau monoton) pe A (pe tot domeniul de definicie ) spunem simplu c funccia ( este strict mnoton (sau monoton) fr a mai indica mulcimea. A studia monotonia unei funccii ( : A ( R revine la a preciza submulcimile lui A pe care ( este strict cresctoare (cresctoare) _i submulcimile lui A pe care ( este strict descresctoare (descresctoare). Pentru studiul monotoniei unei funccii numerice ( : A ( R, se utilizeaz raportul: ((x2) - ((x1) cu x1, x2 ( A, x1( x2, numit raportul de variacie asociat  x2 - x1 funcciei ( _i numerelor x1, x2. Diferenca x2  x1 se nume_te variacia argumentului, iar diferenca ((x2) - ((x1) se nume_te varicia funcciei. Prin urmare raportul de variacie asociat lui ( _i numerelor x1, x2 este raportul dintre variacia funcciei _i variacia argumentului. Are loc urmtoarea:    VALORI EXTREME ALE UNEI FUNCbII. FUNCbIE MRGINIT. Fie funccia numeric ( : A ( R, I ( A.            Fig. 1 Fig. 2 Valoarea maxim sau minim a lui ( pe I se nume_te valoarea extrem a funcciei pe I. Punctul x0 de maxim sau x1 de minim se nume_te punct de extrem pentru funccia ( pe I. EXEMPLE. Funccia ( definit prin tabelul de valori are valoarea maxim egal cu 8 _i se  atinge pentru x = -6. Deci max ( = ((-6)=  x -6 -4 -1 0 1 2 = 8. Punctul x = -6 este punct de maxim ((x) 8 3 -1 -5 0 1 pentru funccie. Valoarea minim a lui ( este egal cu  5 _i se obcine pentru x = 0. Deci min ( = ((0) = -5. Punctul x= 0 este punctul de minim al funcciei. n final, valorile extreme ale funcciei sunt  5 _i 8, iar punctele de extrem sunt 0 _i respectiv  6.    Semnificacia geometric a unei funccii mrgintite este aceea c graficul funcciei este cuprins ntre dreptele orizontale y = m, y = M. (fig. 3)   Fig. 3 BIJECTIVITATE FUNCTIA INJECTIVA  SHAPE \* MERGEFORMAT   SHAPE \* MERGEFORMAT  Aceasta ultima echivalenta va fi utilizata pentru a proba ca o functie este injective. Pe diagrama cu sageti o functie este injective daca in fiecare element al codomeniului ajunge cel mult o sageata. Utilizand graficul unei functii, se poate stabili daca functia este injective ducand prin fiecare punct al codomeniului o paralela la axa Ox. Daca aceasta taie graficul in cel mult un punct, functia este injective. Pentru a arata ca o functie (: A ! B nu este injective este sufficient sa aratam ca exista doua elemente x1, x2 ( A, x1 `" x2 pntru care ((x1) = ((x2). OBSERVAbIE. ( este injectiva ( ((X  Y) = ((X) - ((Y), (X,Y( A EXEMPLU. S se arate c funccia ( : R ( R, ((x) = 3x este injectiv. Fie x1, x2 (R pentru care ( (x1)= ( (x2). Avem achivalenca 3x1=3x2, deci x1=x2, de unde rezult c ( este injectiv. FUNCTIA SURJECTIVA  Din ultima echivalenta se deduce ca:  Pe diagrama cu sageti o funtie este surjectiva daca la fiecare element din B ajunge cel putin o sageata. Graficul unei functii poate preciza daca functia este surjectiva. Daca orice pange cel putin o sageata._______________________ralela la Ox dusa printr-un punct al codomeniului taie graficul in cel putin un punct. O functie (: A ! B nu este surjectiva daca exista y ( B astfel incat ( x ( A, ( (x) `" y. EXEMPLU. Funccia ( : R (R, ((x) = 3x este surjectiv, deoarece ( y (R, ( x (R a.. ((x) = y ( 3x= y ( x= y/3. FUNCTIA BIJECTIVA  Pe diagrama cu sageti o functi este bijectiva daca in fiecare element al codomeniului ajunge exact o sageata. Se mai spune despre functia bijectiva ca este o corespondenta one to one (unu la unu). O functie numerica data prin graficul sau este bijectiva daca orice paralela la ax Ox dusa printr-un punct al codomeniului taie graficul in exact un punct. EXEMPLU. Functia (: R( R , ((x) = 3x este bijectiva. INVERSABILITATE FUNCTIA INVERSA Daca (: A ! B este bijectiva, atunci pentru orice element y ( B exista exact un element x din A astfel incat ((x) = y, ceea ce inseamna ca x = (-1 (y) (adica preimaginea elementului y este elementul x).   OBSERVAbII. 1) Sa remarcam ca functia (-1: B ! A exista daca (: A ! B este bijectiva. 2) Functia (-1 are ca domeniu de definitie codomeniul functiei directe, iar drept codomeniu, domeniul de definitie al functiei directe. 3) Daca ( este bijectiva, atunci (-1 este bijectiva si avem ((-1 ) -1 = (. 4) Pentru a construi diagrama cu sageti a lui (-1 , schimbam sensul sagetilor de pe diagrama cu sageti a lui (. (Se spune ca (-1 actioneaza invers decat ( .) Schema de functionare a lui ( si (-1 este redata mai jos.   x ( A B ( y Nu conteaza cum se noteaza argumentul lui (-1 . De aceea, vom prefera pe x in locul lui y. OPERATII CU FUNCTII  EXEMPLU. ( : Z ( R, ((x) = 3x+1  OBSERVAbII. 1) Se defineste produdul dintre un numar real ( si o functie ( : A ( R, ca fiind functia (( : A ( R, ((( ) (x) = (( (x), ( x ( A. 2) Daca ( , g : A ( R,atunci definim diferenta dintre functia ( si functia g ca fiind functia ( - g: A ( R, (( - g ) (x) = ((x) g (x), ( x ( A. De fapt , diferenta ( - g este suma ( + (-g), unde g = (-1) g. EXEMPLU. Fie (, g : R ( R, ((x) = 3x+1, g(x) = -x +3. Atunci ( + g, ( - g, (g : R ( R prin (( + g )(x) = ( (x) + g(x) = 3x + 1 x +3 = 2x + 4. (( - g)(x) = ((x) g(x) = 3x+1 x 3 = 4x 2. ((g)(x) = ((x)g(x) = (3x + 1)(-3 + 1) = -3x2+8x+3. PROPRIETATI ALE ADUNARII FUNCTIILOR Fie ( (A, R) multimea functiilor definite pe A cu valori in R. Atunci are loc urmatoarea:  PROPRIETATI ALE INMULTIRII FUNCTIILOR   COMPUNEREA FUNCbIILOR. O alt operacie care se poate efectua asupra a dou funccii este cea de compunere. Die ( : A ( B, g : B ( C, dou funcci cu urmtoarea particularitate: codomeniul lui ( este egal cu domeniul lui g. Cu ajutorul acestor funccii se poate construi o alt funccie h : A ( C. Funccia h astfel definit se noteaz g(( (citim  g compus cu ( ) _i reprezint compunerea funcciei g cu ( (n aceast ordine). Funccia go( are domeniul lui ( (prima funccie care accioneaz n aceast compunere) _i codomeniul lui g (ultima care accioneaz n compunere). OBSERVAbII. 1) Funccia compus go( a dou funccii (, g nu poate fi definit dect dac codomeniul lui ( coincide cu domeniul de definicie a lui g. Dac ( : A ( B, g : B ( A, atunci are sens fog _i gof. n general ns gof (fog. PROPRIETbI ALE COMPUNERII FUNCbIILOR. Asociativitatea ( (, g , h ( ( avem fo(goh) = (fog)oh Comutativitatea ( (, g ( ( a.. (og ( go( Element neutru ( o funccie 1A ( ( a.. ( ( ( ( avem (o1A = 1Ao( = (; 1A : A ( A; 1A(x) = x (funccie identic) Elemente simetrizabile Nu toate funcciile admit inverse! Funccia invers: ( : A ( B, g : B ( C; g s.n inversa lui ( dac fog = 1B; go( = 1A(notacie: g = (-1) Proprietti: g = (-1 ( (go()(x) = x ((og)(x) = x; (-1(((x)) = x (x ( A (((-1(x)) = x (x ( B; ( inversabil ( ( injeccie       FUNCbII PARTICULARE FUNCbIA DE GRADUL I ( : R( R, ((x) = ax + b, a, b (R    OBSERVAbIE. Funccia de gradul nti este bine determinat dac se cunosc coeficiencii a,b(R MONOTONIA FUNCbIEI DE GRADUL NTI   OBSERVAbII. 1. Semnul lui a precizeaz monotonia funcciei de gradul nti. 2. Ecuacia y = ax + b reprezint o pant a ( 0 (o dreap oblig  neparalel cu axa Ox sau cu axa Oy). SEMNUL FUNCbIEI DE GRADUL NTI     GRAFICUL FUNCbIEI DE GRADUL NTI Graficul funcciei de gradul nti este o dreapt oblic de ecuacie y = ax + b. Pentru trasarea unei drepte sunt necesare dou puncte care aparcin graficului. BIJECTIVITATEA ^I INVERSABILITATEA FUNCbIEI DE GRADUL NTI. COMPUNEREA FUNCbIILOR DE GRADUL NTI.  FUNCbIA DE GRADUL AL DOILEA. ( : R ( R , ((x) = ax2 + bx + c, a, b, c ( R, a ( 0.  ORSERVAbII. 1. Funccia de gradul al doilea este bine determinat dac se cunosc coeficiencii a ( 0, b, c. Condicia a ( 0 este esencial n definicia funcciei deoarece dac a = 0 se obcine ecuacia afin. Cum domeniul _i codomeniul lui ( coincid cu R, funccia de gradul al doilea este o funccie numeric. n loc de ((x) = ax2 + bx + c vom scrie y = ax2 + bx + c. MONOTONIA FUNCbIEI DE GRADUL AL DOILEA        SEMNUL FUNCbIEI DE GRADUL AL DOILEA.       ALTE FUNCbII NUMERICE. FUNCbIA PUTERE CU EXPONENT NATURAL.  PROPRIEbbI.         FUNCbIA RADICAL.  PROPRIETbI.         FUNCbIA ( : R ( R*, ((x) = 1/x .     FUNCbIA OMOGRAFIC.  PROPRIETbI.        FUNCbIA MODUL.   PROPRIETbI.     FUNCbIA PARTE NTREAG ^I PARTE FRACbIONAR.   FUNCbIA EXPONENbIAL.  OBSERVAbII. !. Baza a este diferit de 1 pentru c n caz contrar ((x) = 1x = 1 este considerat constant _i nu este considerat ca o funccie exponencial. A nu se confunda funccia exponenciala ((x) = ax, a>0, a ( 1 cu functia g(x) = xa, ( x(R. Pentru prima funccie a este baza puterii ax care este constanta, in timp ce pentru a doua funccie a este exponentul puterii axa care este constant. GRAFICUL FUNCbIEI EXPONENbIALE. Graficul funcciei exopnenciale se traseaz n dou cazuri: Baza a ( (0, 1) (spunem c baza este subunitar). n acest caz graficul funcciei este situat deasupra axei Ox _i intersecteaz axa Oy n (0, 1). Graficul funcciei exponenciale cu baz subunitar este din ce n ce mai apropiat de axele coordonate, cu ct baza este mai mic. Baza a > 1 (spunem c baza este supraunitar). n acest caz graficul funcciei este situat deasupra axei Ox _i intersecteaz axa Oy n (0, 1). Graficul funcciei exponenciale cu baz subunitar este din ce n ce mai apropiat de axele coordonate, cu ct baza este mai mare. PROPRIETbI ALE FUNCbIEI EXPONENbIALE.  OBSERVAbII. ((x1  x2) = ((x1) / ((x2); ((cx1) = (((x1))c   OBSERVAbIE. Pentru a > 1, ax1 < ax2 ( x1 < x2; Pentru 0 < a < 1, ax1 < ax2 ( x1 > x2.  FUNCbIA LOGARITMIC.  OBSERVAbII. 1. Nu se poate defini logaritmul unui numr real negativ x, deoarece ay > 0, (y (R. alogax = x (identitatea logaritmic fundamental.)  GRAFICUL FUNCbIEI LOGARITMICE. Graficul funcciei logaritmice se traseaz n dou cazuri: Baza a ( (0, 1) (spunem c baza este subunitar). n acest caz graficul funcciei intersecteaz axa Ox n punctele de coordonate (0, 1), care este simetricul, n raport cu prima bisectoare, punctului (0, 1) n care graficul funcciei exponenciale intersecteaz axa Oy. Graficul funcciei logaritmice cu baz subunitar este din ce n ce mai apropiat de axele coordonate, cu ct baza este mai mic. Baza a > 1 (spunem c baza este supraunitar). n acest caz graficul funcciei intersecteaz axa Ox n punctele de coordonate (0, 1), care este simetricul, n raport cu prima bisectoare, punctului (0, 1) n care graficul funcciei exponenciale intersecteaz axa Oy. PROPRIETTI ALE FUNCbIEI LOGARITMICE.  OBSERVAbII. g(x1 / x2) = g(x1)  g(x2), ( x1, x2 > 0; ((x1() = (((x1), (x1 > 0.   OBSERVAbIE. Din faptul c g este bijectiv avem echivalenca: logax = logay ( x = y.  OBSERVAbIE. Pentru a > 1, logax1 < logax2 ( x1 < x2 Pentru 0 < a< 1, logax1 < logax2 ( x1 > x2. FUNCbIILE TRIGONOMETRICE DIRECTE. FUNCbIE PERIODIC   EXEMPLU. Funccia ( : R ( R, ((x) = 1, x ( Z este periodic, de perioad 0, x ( R  Z principal T* = 1 FUNCbIILE SINUS ^I COSINUS.    PROPRIETbI ALE FUNCbIILOR SINUS ^I COSINUS.        FUNCbIA TANGENT ^I COTANGENT.  PROPRIETbI ALE FUNCbIILOR TANGENT ^I COTANGENT.                 FUNCbII TRIGONOMETRICE INVERSE. FUNCbIA ARCSIN.  PROPRIETbI.         FUNCbIA ARCCOS.  PROPRIETbI.       FUNCbIA ARCTG.  PROPRIETbI.      FUNCbIA ARCCTG.  PROPRIETbI. Bibliografie:  Matematic, manual pentru clasa a-IX-a, profil M1, M2 , autor Mircea Ganga, Editura Mathpress 2000.  Matematic, manual pentru clasa a-X-a algebr, profil M1 , autor Mircea Ganga, Editura Mathpress 2001. Materie predat de domnul profesor, Cristian Alexandrescu n anii _colari 2000  2001 _i 2001  2002 PAGE  PAGE 23 DEFINIbIE. Fie A _i B dou mulcimi nevide. Spunem c am definit o funccie pe mulcimea A cu valori n B dac printr-un procedeu oarecare facem ca fiecrui element x ( A s-I corespund un singur element y ( B. NOTAbIE. O funccie definit pe A cu valori n B se noteaz f : A ( B (citim  f definit pe A cu valori n B ). Uneori o funccie se noteaz simbolic A ( B, x ( y = ((x)(citim:  ( de x ), unde y este imaginea elementului x din A prin funccia ( sau nc valoarea funcciei ( n x. Elementul x se nume_te argument al funcciei sau variabil independent A = domeniul de definicie; B = codomeniul; Legea f care leag cele dou mulcimi. DEFINIbIE. Fie ( : A ( B, iar A ( A. Se nume_te imaginea lui A prin (, notat cu ((A ), submulcimea lui B format din elementele care sunt imagini prin ( a cel pucin unui element din A . Deci, ((A ) = {((x) (x ( A } sau ((A ) = {y ( B ((x ( A astfel nct ((x) = y}. DEFINIbIE. Fie ( : A ( B. Se nume_te imagine a funcciei (, notat Im( sau ((A), partea lui B constituit din toate imaginile elementelor lui A. Deci, Im( = V(A) = {((x) (x ( A} sau Im( = {y ( B ((x ( A astfel nct ((x) = y}. DEFINIbIE. Fie ( : A ( B. Se nume_te imaginea reciproc a unei prci B a lui B, notat (-1(B ), submulcimea lui A format din acele elemente ale cror imagini prin ( aparcin lui B . Deci, (-1(B ) = {x (A (((x) ( B }. DEFINIbIE. Fie o funccie ( : A ( B. Se nume_te graficul funcciei ( mulcimea de cupluri G( = {(x, ((x)) ( x ( A} = {(x, y) (x ( A, y = ((x)}. DEFINIbIE. Fie ( : A ( B, g : C ( D dou funccii; (, g sunt funccii egale (( = g) dac: A = C (funcciile au acela_i domeniu de definicie), B = D (funcciile au acela_i codomeniu) _i ((x) = g(x), (x ( A (punctual, funcciile coincid). DEFINIbIE. Funccia ( este strict cresctoare pe I dac: Funccia ( este strict descresctoare pe I dac: (()x1, x2 ( I (()x1, x2 ( I ( ((x1) < ((x2) ( ((x1) > ((x2) x1 < x2 x1 < x2 DEFINIbIE. Funccia ( este cresctoare pe I dac: Funccia ( este descresctoare pe I dac: (()x1, x2 ( I (()x1, x2 ( I ( ((x1) < ((x2) ( ((x1) > ((x2) x1 < x2 x1 < x2 TEOREM. Fie ( : A ( R o funccie numeric _i I ( A. Atunci: ( este strict cresctoare (cresctoare) pe I ( ((x2) - ((x1) > (() 0, (()x1, x2 ( I x2 - x1 x1( x2; ( este strict descresctoare (descresctoare) pe I ( ((x2) - ((x1) < (() 0, (()x1, x2 ( I x2 - x1 x1( x2; DEFINIbIE. Dac exist x0 ( I astfel nct ((x) ( ((x0), (x ( I, atunci ((x0) se nume_te maximul funcciei ( pe mulcimea I _i scriem ((x0) = max((x). Punctul x0 pentru care se obcine valoarea maxim a lui ( pe I se nume_te punct de maxim pentru funccia ( pe I.(fig. 1) Dac exist x1 ( I astfel nct ((x) ( ((x1), (x ( I, atunci ((x1) se nume_te minimul funcciei ( pe mulcimea I _i scriem ((x1) = min((x). Punctul x1 pentru care se obcine valoarea minim a lui ( pe I se nume_te punct de minim pentru funccia ( pe I.(fig. 2) DEFINITIE. (MARGINIREA UNEI FUNCTII). O functie numerica (: A ( R se numeste marginit dac exist dou numere reale m, M a.. m (M, ( x(A. DEFINITIE. O functie (: A ! B se numeste functie injectiva ( sau simplu injectie) daca orice element din B este imaginea prin ( a el mult unui element din A, ceea ce-I echivalent cu faptul ca pentru orice y ( B ecuatia ( (x) = y are cel ,ult o solutie x ( A. Altfel spus, functia ( este injective daca si numai daca doua elemente diferite oarecare din A au imagini diferite in B prin (, adica ( x1, x2 ( A ( este injectiva ( ( ((x1) `" ((x2) x1 = x2 ( x1, x2 ( A (: A ! B este injectiva ( ( x1 = x2 ((x1) = ((x2) DEFINITIE. O functie (: A ! B se numeste functie surjectiva ( sau simplu surjectie), daca orice element din B este imaginea prin ( a cel putin unui element din A, ceea ce-I echivalent cu faptul ca pentru orice y ( b ecuatia ( (x) = y are cel putin o solutiw x ( A. Altfel spus, functia ( este surjectiva ( ( y ( B, ( x ( A astfel incat ((x) = y. (: A ! B este surjectiva ( ( (A) =B, adica Im ( = B. DEFINITIE. O functie (: A ! B se numeste functie bijectiva ( sau simplu biejctie), daca este atat injective cat si surjectiva. Altfel spus functia (: A ! B este functie bijectiva (( y ( B, (! x ( A astfel incat((x) = y. Simbolul (! Inseamna  exista si este unic . DEFINITIE. Fie (: A ! B o functie bijectiva. Se numeste functie inversa a functiei (, functia g: B ! A, care asociaza fiecarui element y din B elementul unic x din A astfel incat ((x) = y. NOTAbIE. Pentru functia g utilizam notatia (-1 (citim  f la minus unu ). O functie ( care are inversa se spune ca este invesabila. Functia ( se numeste functie directa, iar (-1 functie inversa (a lui (). DEFINIbIE. Fie A, B ( R. O functie ( : A ( B se numeste functie numerica sau functie reala de variabila reala. DEFINIbIE. 1) Functia ( +g : A ( R definita prin (( +g) (x) = ( (x) + g (x), ( x ( A, se numeste suma dintre functia ( si functia g. 2) Functia ( ( g : A ( R definita prin (( ( g ) (x) = ( (x) g (x), ( x ( A, se numeste produsul dintre functia ( si functia g. 3) Functia ( / g : A { x ( g (x) = 0 } ( R definita prin (( / g ) (x) = ((x) / g (x), ( x ( A, g (x) ( 0 se numeste catul dintre functia ( si functia g. TEOREM. Pentru operatia de adunare pe ( (A, R) au loc proprietatile: (( +g) + h = ( + (g + h), ((, g, h ( ( (A, R) (adunarea functiilor este asociativa); ( + g = g + ( , ((, g ( ( (A, R) (adunarea functiilor este comutativa); exista functia 0 ( ( (A, R), 0(x) = 0, ( x ( A astfel incat ( + 0 = 0 + ( = (, (( ( ( (A, R) (0 se numeste functie nula si este element neutru pentru adunarea functiilor); (( ( ( (A, R), ((-() ( ( (A, R) astfel incat ( + (-() = (-() + ( = 0 ( orice functie ( are o opusa (-()). TEOREM . Pentru operatia de inmultire pe ( (A, R), au loc proprietatile: (( * g) * h = ( * (g * h), ((, g, h ( ( (A, R) (inmultirea functiilor este asociativa); ( * g = g * ( , ((, g ( ( (A, R) (inmultirea functiilor este comutativa); exista functia 1 ( ( (A, R), 1(x) = 1, ( x ( A astfel incat ( * 1 = 1 * ( = (, (( ( ( (A, R) (1 se numeste functia unitate pe multimea A ). PROPOZIbIE. Inmultirea este distributiva in raport cu adunarea pe ( (A, R), adica ( * (g + h) =(g + ( h, ((, g, h ( ( (A, R). DEFINIbIE. Fie A, B, C mulcimi nevide _i funcciile ( : A ( B, g : B ( C. Se nume_te compusa funcciei g cu funccia ( (sau funccia compus din ( _i g), considerat n aceast ordine, funccia notat go( , definit astfel: go( : A ( C , (go()(x) = g(((x)), (x ( A. TEOREMA. 1) Dac (, g sunt funccii pare, atunci go( este o funccie par (Compunerea a dou funccii pare este o funccie par). Dac ( _i g sunt funccii impare, atunci go( este funccie impar. (Compunearea a dou funccii impare este o funccie impar). Dac ( si g au paritti diferite, atunci go( este o funccie par. Dac ( _i g au aceia_i monotonie, atunci go( este cresctoare. (Compunearea a dou funccii de aceia_i monotonie este o funccie cresctoare). Dac ( _i g au monotonii diferite, atunci go( este descresctoare. (Compunerea a dou funccii de monotonie diferit este o funccie descresctoare). Dac ( _i g sunt bijective, atunci go( este bijectiv. (Compunerea a dou funccii bijective este o funccie bijectiv). Compunerea a doua funccii inversabile ( _i g este o funccie inversabil. DEFINIbIE. Funccia ( : R ( R, ((x) = ax + b, a, b ( R se nume_te funccie afin. Dac a ( 0, atunci ( se nume_te funccie de gradul nti de coeficienci a, b. Dac a ( 0 _i b = 0 atunci ( se nume_te funccie liniar (((x) = ax). Pentru funccia de gradul nti, ax se nume_te termenul de gradul nti, iar b, termenul liber al funcciei. Ecuacia ax + b = 0 se nume_te ecuacia ata_at funcciei (. TEOREM. Funccia de gradul nti ( : R ( R, ((x) = ax +b , a ( o este: strict cresctoare daca a > 0 strict descresctoare dac a < 0 TEOREM. Funccia de gradul nti ( : R ( R, ((x) = ax + b, a ( 0 are zeroul x = -b/a, iar semnul funcciei este dat n tabelul de semn x -( -b/a ( ((x) semn contrar lui a 0 acela_i semn cu a Numrul x = -b/a este rdcina ecuaciei ata_ate ax + b = 0. Spunem c pn n rdcin, adic pentru x < -b/a, ( are semn contrar lui a, iar dincolo de rdcin, adic pentru x > -b/a, ( are semnul lui a. TEOREM. 1) Funccia ( : R ( R, ( (x) = ax + b, a ( 0 este bijectiv. Inversa funcciei ( este funccia (-1 : R ( R, (-1(x) = (x-b)/a. Dac g : R ( R, g(x) = cx + d, c ( 0, atunci go( : R ( R, (go()(x) = acx + bc + d. (Compunerea a dou funccii de gradul nti este o funccie de gradul nti). DEFINIbIE. Funccia ( : R ( R, ((x) = ax2 + bx + c, a, b, c ( R, a ( 0 se nume_te funccie de gradul al doilea (sau funccie ptratic) cu coeficiencii a, b, c. Pentru funccia de gradul al doilea ax2 se nume_te termenul de gradul doi (sau ptratic), bx termenul de gradul nti(sau liniar), iar c termenul liber. Ecuacia ax2 + bx + c = 0 se nume_te ecuacia ata_at funcciei ( (x) = ax2 + bx + c, iar ( = b2  4ac discriminantul ecuaciei l numim pentru funccie discriminantul funcciei. TEOREM. Fie funccia de gradul doi ( : R ( R, ((x) = ax2 + bx + c, a ( 0. Dac a > 0, atunci ( este strict descresctoare pe (-(, -b/2a] ( este strict descresctoare pe [-b/2a, () x -( -b/2a ( Tabelul de variacie a funccieie este: ((x) ( -(/4a ( Dac a < 0, atunci ( este strict cresctoare pe (-(, -b/2a] ( este strict descresctoare pe [-b/2a, () x -( -b/2a ( Tabelul de variacie a funcciei este: ((x) ( -(/4a ( ((x) = a(x = b/2a)2 - (/4a se nume_te forma canonic a funcciei de gradul doi. TEOREM. Fie : R ( R, ((x) = ax2 + bx + c, a ( 0. Dac ( > 0, atunci ecuacia ata_at lui ( are dou rdcini reale distincte x1 < x2, iar semnul lui ( este cel al lui a n afara rdcinilor _i semn contrar lui a ntre rdcini: x -( x1 x2 ( ((x) semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a Dac ( = 0, atunci ecuacia ata_at lui ( are dou rdcini reale egale x1 = x2 = -b/2a, iar semnul funcciei ( este cel al lui a pe R/{-b/2a}. x -( -b/2a ( ((x) semnul lui a 0 semnul lui a Dac ( < 0, atunci ecuacia ata_at lui ( nu are rdcini reale, iar semnul funcciei ( este semnul lui a pe R. x -( ( ((x) semnul lui a DEFINIbIE. D ( R se nume_te mulcime simetric dac ( x ( D ( -x ( D Fie ( : D ( R, D simetric ( s.n. funccie par ( x( D ((-x) = ((x) ( s.n. funccie impar ( x( D ( (-x) = -((x) DEFINIbIE. Fie a > 0, a ( 1. Funccia ( : R ( (0, (), ((x) = ax, se nume_te funccia exponencial de baz a. 1) Funccia exponencial face s-I corespund sumei a dou numere reale produsul valorilor corespunztoare ale funcciei, adic: ((x1+x2) = ((x1)((x2), (x1, x2 (R. MONOTONIA FUNCbIEI EXPONENbIALE. Dac a > 0, atunci ((x) = ax este strict cresctoare; 0 < a < 1, atunci ((x) = ax este strict descresctoare. 2) Funccia exponencial este bijectiv _i deci inversabil. SEMNUL FUNCbIEI EXPONENbIALE. ( a( (0, () / {1}, atunci ((x) = ax > 0; ( a( (0, 1) _i x((-(, 0), atunci ((x) = ax ( (1,() x((0,(), atunci ((x) = ax ( (0, 1) ( a > 1 _i x((-(, 0), atunci ((x) = ax ( (0, 1) x((0, (), atunci ((x) = ax ((1, () DEFINIbIA LOGARITMULUI UNUI NUMR POZITIV. Fie a > 0, a ( 1 _i x > 0. Se nume_te logaritmul numrului x n baza a, _i se noteaz logax, numrul real y definit prin: y = logax ( ay = x. DEFINIbIE. Fie a > 0, a ( 1. Funccia g : (0, () ( R, definit prin g(x) = log ax se nume_te funccia logaritmic de baz a. 2) Funccia logaritmic este inversa funcciei exponenciale. 1) Funccia logaritmic face s-I corespund produsului a dou numere reale pozitive suma valorilor corespunztoare ale funcciei, adic: g(x1x2) = g(x1) + g(x2) , (x1, x2 > 0. MONOTONIA FUNCbIEI LOGARITMICE. Dac a > 1, atunci g(x) = logax este strict cresctoare. 0 < a < 1, atunci g(x) = logax este strict descresctoare. OBSERVAbIE! loga1 = 0. Logaritmul lui 1 n orice baz este egal cu 0. DEFINIbIE. O funccie ( : R ( R se nume_te periodic dac exist un numr real T a.. ((x + T) = ((x), (x (R. Numrul T ( 0 se nume_te perioad a funcciei (. Dac printre numerele nenule pozitive T exist un cel mai mic numr pozitiv T*, atunci acesta se va numi perioada principal a funcciei (. DEFINIbIE. Cosinusul lui ( (notat cos () este abscisa punctului M(, adic cos ( = x(. Sinusul lui ( (notat sin () este ordonata punctului M(, adic sin ( = y(. A_adar avem funcciile sin : R ( R, ( ( sin ( _i cos : R ( R, ( ( cos (. OBSERVAbII. cos 0 = 1, sin 0 = 0 cos (/2 = 0, sin (/2 = 1 cos ( = -1, sin ( = 0 cos 3(/2 = 0, sin 3(/2 = -1 DEFINIbIE. Tangenta lui ( ( R  {(2k + 1)(/2( k( Z} (notat tg () este egal cu raportul dintre sin ( _i cos (, adic: tg ( = sin ( / cos (. Cotangenta lui ( ( R  {k(( k ( Z} (notat ctg () este egal cu raportul dintre cos ( _i sin (, adic: ctg ( = cos ( / sin (. P6: Monotonia funcciilor sinus _i cosinus: Funccia sinus este strict cresctoare pe intervalele [0, (/2], [3(/2. 2(] _i strict descresctoare pe intervalul ((/2, 3(/2). Vom marca acest fapt prin tabelul: Cadran I II III IV sin Funccia cosinus este strict descresctoare pe intervalul [0, (] _i este strict cresctoare pe intervalul [(, 2(]. Vom marca monotonia acestei funccii prin tabelul: Cadran I II III IV sin Funccia sin cos Cadranul I + + II + - III - - IV - + P1: -1 ( sin ( ( 1, -1 ( cos ( ( 1, (( ( R. P2: Formula fundamental a trigonometriei: sin2( + cos2( = 1, (( ( R. P3: Periodicitatea funcciilor sin _i cos: sin(( + 2k() = sin (, cos(( + 2k() = cos (, (((R,(k(Z (Funcciile sin _i cos au perioada principal T* = 2(). P4: Paritatea funcciilor sin _i cos: Funccia sinus este impar, adic sin(-() = -sin (, (((R Funccia cosinus este par, adic cos(-() = cos (, (((R. P5: Semnul funcciilor sin _i cos: P1: Periodicitatea funcciilor tg _i ctg: tg(( + k() = tg (, ( ((R  {(2l + 1)(/2( l( Z}, ctg(( + k() = ctg (, ( ((R  {l(( l( Z} (Funccia tg _i ctg au periodicitatea principal T* = () P2: Paritatea funcciilor tg _i ctg: Funcciile tg _i ctg sunt impare, adic: tg(-() = -tg (, (( ((2k + 1)(/2, k (Z; ctg(-() = -ctg (, ( ( ( k(, k( Z. P3: Semnul funcciei tg _i ctg: P4: Monotonia funcciilor tg _i ctg: Funccia tangent este strict cresctoare pe (-(/2, (/2) _i marcm aceasta n tablelul: x -(/2 0 (/2 tg x Funccia cotangent este strict descresctoare pe (0, () _i vom indica aceasta prin tabelul: x 0 ( ctg x Funccia tg ctg Cadranul I + + II - - III + + IV - - NOTAbIE. g: [-1, 1] ( [-(/2, (/1], g(x) = arcsin x. (arsin este inversa funcciei sin) Funccia arcsin ia cea mai mic valoare -(/2 pentru x = -1 (arcsin(-1) = -(/2). Funccia arcsin ia cea mai mare valoare (/2 pentru x = 1 (arcsin 1 = (/2). Funccia arcsin nu este periodic. Funccia arcsin este impar. Arcsin(-x) = -arcsinx, (x( R. Graficul funcciei arcsin. Monotonia funcciei arcsin. Deoarece funccia direct (: [-(/2, (/2] ( [-1, 1], ((x) = sin x este strict cresctoare rezult c _i funccia invers este la fel. Semnul funcciei arcsin. Dac x ( [-1, 0], atunci arcsin x ( 0, iar pentru x ( [0, 1], arcsin x ( 0. NOTAbIE. g: [-1, 1] ( [0, (], g(x) = arccos x. (arccos este inversa funcciei cos) Funccia arccos ia cea mai mic valoare 0 pentru x = 1, deoarece arccos 1 = 0. Funccia arccos ia cea mai mare valoare ( pentru x = -1. Funccia arccos nu este periodic. Funccia arccos nu este nici par, nici impar. Are loc relacia: Graficul funcciei arccos. Monotonia funcciei arccos. Cum funccia direct ( : [0, (] ( [-1, 1], ((x) = cos x este strict descresctoare pe [0, (] rezult c _i inversa g are aceea_i proprietate pe [-1, 1]. Semnul funcciei arccos. Dac x( [-1, 1], Atunci arccos x ( 0. arccos(-x) = ( - arccos x, ( x( [-1, 1] NOTAbIE. g : R ( (-(/2, (/2), g(x) = arctg x (arctg este inversa funcciei tg) Funccia arctg este mrginit, dar nu ia cea mai mic sau cea mai mare valoare. Funccia arctg este impar, deoarece arctg(-x) = -arctg x, ( x ( R. Funccia arctg nu este periodic. Graficul funcciei arctg. Monotonia funcciei arctg. Funccia este strict cresctoare pe R Semnul funcciei arctg. Dac x ( 0, atunci arctg x ( 0, iar dac x > 0, avem arcth x >0. Funccia arcctg este mrginit, dar nu ia cea mai mic sau cea mai mare valoare. Funccia arcctg nu este nici par nici impar. Mai precis: Funccia arcctg nu este periodic. Graficul funcciei arcctg. Monotonia funcciei arcctg. Funccia are aceia_i monotonie ca _i funccia direct. Deci este strict descresctoare. Semnul funcciei arcctg. Dac x( R, atunci arcctg x > 0. NOTAbIE. g: R ( (0, (), g(x) = arcctg x. (arcctg este invesra funcciei ctg) Arcctg(-x) = ( - arcctg x, ( x ( R DEFINIbIE. Funccia ( : R ( R,((x) = xn, n( N* se nume_te funccia putere de exponent n FUNCbIA MONOTONIA TABEL PARITATE BIJECTIV SIMETRIA DE VARIEbIE GRAFICULUI ((x) = x2k, strict descresctoare x -( 0 ( par nu fac de Oy k ( N* pe (-(, 0) ((-x) = ((x) strict cresctoare ((x) ( 0 ( pe [0, () ((x) = x2k+1, strict cresctoare x -( 0 ( impar da fac de O k ( N* ((-x) = -((x) ((x) ( 0 ( DEFINbIE. Funccia ( : R ( R, ((x) = 2n + 1(x, n( N*, se nume_te funccia radical de ordin impar. Funccia ( : [0, () ( [0, (), ((x) = 2n(x, n( N*, se nume_te funccia radical de ordin par. MONOTONIA TABEL PARITATE BIJECTIV SIMETRIA DE VARIEbIE GRAFICULUI strict descresctoare x -( 0 ( impar da fac de O pe intervalele ((-x) = -((x) (-(, 0) , (0, () ((x) 0 -((( 0 FUNCbIA MONOTONIA TABEL PARITATE BIJECTIV SIMETRIA DE VARIEbIE GRAFICULUI ((x) = 2n(x, strict cresctoare x 0 ( nu da nu n ( N* ((x) 0 ( ((x) = 2n + 1(x, strict cresctoare x -( ( impar da fac de O n ( N* ((x) ( ( DEFINIbIE. Funccia ( : R  {-d/c}( R  {a/c}, ((x) = (ax + b) / (ax + d), a, b, c, d (R, c ( 0, ad  bc ( 0 se nume_te funccia omografic. SEMNUL MONOTONIA TABEL BIJECTIV SIMETRIA LUI ad - bc DE VARIEbIE GRAFICULUI strict cresctoare x -( -d/c ( fac de punctul + pe intervalele da (-d/c, a/c) (-(, -d/c), (-d/c, () ((x) a/c ((-( a/c strict descresctoare x -( -d/c ( fac de punctul - pe intervalele da (-d/c, a/c) (-(, -d/c), (-d/c, () ((x) a/c -((( a/c DEFINIbIE. Funccia ( : R ( [0, (), ((x) = (x( = x, x ( 0 se nume_te funccia modul. -x, x < 0 MONOTONIA TABEL PARITATE BIJECTIV SIMETRIA DE VARIEbIE GRAFICULUI strict descresctoare x -( 0 ( par nu fac de Oy pe (-(, 0] strict cresctoare ((x) ( 0 ( pe [0, () (: R ( Z, ((x) = [x] ( : R ( [0, 1), ((x) = {x} = x [x] . -2, x([-2, -1] x + 2, x([-2, 1) -1, x([-1, 0) x + 1, x([-1, 0) ((x) = 0, x([0, 1) ((x) = x, x([0, 1) 1, x([1, 2) x 1, x([1, 2) 2, x([2, 3) x 2, x([2, 3) . T(    B & ( * 8 : B D "|~6"$8HLdf jCJ jOJQJ CJOJQJ jCJ jjCJUmHnHu5CJ5CJCJ5CJCJ 5CJJTh0(*~2 $dh`a$$dha$$a$Ξ?C2 D    $`a$$a$$a$$a$$dha$ $dh`a$      . X ""$q]q$a$BJbdBDdf|~>@xz $h~B~ ! !!@!B!L!N!V!X!f!h!!!!!""""""|##$:%'*))))\*f*h*r*5CJH*5 j jOJQJjUmHnHu CJOJQJjCJUmHnHuCJOBBDF d| h@B ! !!\" & F  ^dh^dh^^$@ ^@ a$$a$\""##:%<%X''*))))))))\*^*++++++++ ]^ $^`a$^pdh^pr*t***++6+8+@+B+V+n+t+~+++++++++++++++++,,<,>,,,,,,,,,-- --*-,-<->-D-F-J-L-P-d-x-z-|---..*.,.4.6.B.D.N.P.Z.\.~............/ jj5UmHnHujUmHnHu5 j j jU+++,,,(-*-8-<-@-B-D-H-J-L-........./dh^ ]` ]^ ]^/ //J/L/n/p/0 00:0<0P0R0V0000000000 1 1 1"16181v1111111111112&2(2224222222,3.3b3d3n3p333 44,4.44455P55555555 6V6X68P99H*j5UmHnHu j jH*5CJH* j j5jUmHnHuQ///P00 14161n1t1v111111111222 p]^p` ]^` ]^]  ]^  (]^ `(238333,45L5N5P55r:*<.<6<<<p===$- ]- a$ - ]- ^^dh^ ]^ h]^h  & F] p]^p`99R:T:^:`:r:x::::: ;;(;*;.;0;@;B;P;"<$<&<*<,<.<4<6<8<H<\<^<z<|<<<<<<<<<=====>>>$>&>*>,>Z>\>l>n>r>t>>>>>??R?T?\?`?f?j???????@ jH* j5CJj5UmHnHu j jjUmHnHu j j5O==========V>>>>\?b?d?f?l?n?p?r?t?  q]q^ ]^ ]^ ]^`t?v?@@F@H@J@P@R@T@V@X@Z@@NBCD4EE~GGGGGGG ^`^  qr]q^r  ]^@2@@@D@J@N@p@r@t@@@@@@AAAABBBBCCCCJDLDVDXDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD E4E6EBEDELENERElEnEEEEEEEEEEEF F$F&F.F0F4F6FPFpFj5UmHnHu j jH*5H* j5 j jjUmHnHu5PpFFFFFFFGGGGGGG6HbHdHnHpH|H~HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHIIXIZI|IIIIIIJ\J^JhJnJJJJ$K&KzK|KKKKKHLJLLLNNNNOOOOOO Q Q j55CJ j j5CJjUmHnHuH* jVGGGGGGGGGGGG6H8HHHHHHHHHHHH$ qr]q^ra$  q]q^  qr]q^rHHHHHHHHHHHHHHHIIlJnJ$K  qr]q^r  rrr]r^r rrrdh]r^r  rqr]q^r  rq]q^  qr]q^r$KKFL NOOOOOOO QQQ,QNQvQQQNRRS  q]q^  r]^r  q]q^  qr]q^r QQQ*Q,Q2QNQRQvQxQQQQQQQQQQQQQQSSTTTTTTTTTTTTTTTTTTT UUU2U4U6U8ULUNUZU\UfUhUnUpUzUUҽ j j" j j jCJCJH* jCJCJ j|CJU jUj5CJUjUmHnHuj5CJU55CJ5CJ CJjCJUmHnHuVDVFVLVNVTVVVVVVVVVVVVVVVW"W$W&WvWxWWyXX Y YZ.ZJZLZlZnZtZvZ~ZZZZZZZZZZ[[[[$[&[,[.[<[>[N[P[^[`[r[[[[[ j j$ j"5< mHnHujUmHnHuCJ5CJ jH* j jP[[[[[[[[[\=]s]t]]]_______  q]q  rrr]r^r rrdh]r^r q]q^`  qr]q^r[[=]E]O]P]S]T]Y]Z]t]]]^l^n^^^_____________` `f`h`n`vaxaaaaaaaaaaa-b.b1bmbnb}b~bbbbbbbbbbbbbc c cCcDcJctcucxccccccH* j'CJ jCJ CJ CJCJH* j5CJ j j5jUmHnHuP_____P`daabbbGcHcIcJcccccccccc  qL]q^L  & F q]q  qr]q^r  q]qccccccccccccedfef^g_ggggggggg  rqr]q^r  qr]q^r  q]q^ccccccccccddtdvdddddddddddddddddde eeee.e0e6e:eBeDeeeeeeeeeeeeeeeff f fffffff7f8f;f>fHfIfNfOfXfYfafeflfsftf|f}fffff6 j j"H* jajUmHnHu j j5Vfffffffffffffgg+g,g4g5g]g^g_ggggggggh h"h0h2hhnhphllll  q]q^  q]q^  qr]q^rllllmnnnoRoroooppqqqrBrDrFrXrZr^r`rrrtrvrxr|rrrrrrrrrrrrrrrssssssssdssssssssssssstt ttt*ttttuuuu u&us  qr]q^r q\ ]q^`\  q]q>s@sBsDsFsHsJsLsNsPsRsTsVsXsZs\s^s`sbsdsssss q]q^` q]q^`  qr]q^rsstttt t ttttttuuu"u$u&uuvvvv  rqr]q^r  q]q^  q]q  qr]q^rvvvvvvvvvvvvv8wxxzxDyHyJyLyNyy qr]q^r  rq]q^  q]q^  rqr]q^rvvv8wxxByDyFyLyNyyyyyyyyyyyyyyzzz*zzz{{{{|||||||:}<}>}F}H}J}L}N}R}Z}\}`}f}l}n}t}}}}}}}}}}}}}}}4~~~~~~~H* j jj5UmHnHu j5 j55H* j5 j55CJCJ5jUmHnHuKyyzzzz z zzzzzz{||<}@}B}D}F}J}N}  rq]q  & F rq]q  rqr]q^r  q]q^  qr]q^rN}T}V}X}Z}^}`}h}j}l}p}r}t}v}}}}}}}}}}}}}}  rqr]q^r  rq]q}}}}}}}}}.~2~~~~~~~~~~~~~~~  rq]q^  rqr]q^r  q]q^  rq]q~~~~~~~~~~~~~~~~~~&268:<>@BDFHJLNRXZ`tv"&(*,.248:<@BDFLnprtxj5UmHnHu j5 j55j5CJUmHnHu5CJjUmHnHuP~~~~  &46:>BFJNTVXZ\^`  rq]q^  rqr]q^r$&*.68<BHJLnr  rq]q^  rqr]q^rrvx "$&(*\`bdf  q]q^  rq]q^  rqr]q^rx\^h~DFJLPRĄHJp҉ԉ܉ "&(:<BDNPTVZ^`H* j j" jH* jj5UmHnHuj5CJUmHnHu5CJjUmHnHu5LfhĄ:b҉։؉ډ܉^bdf  rq]q^  & F rq]q  rr]r^ rrrdh]r^r  & F rq]q  rqr]q^r  q]q^`fhrŠĊ̊Ί&(,.:>V46HJNPXdƌ֍$&46DFLNRTZ\lnrtv~ ja jaH* jH* j j"5CJ j5jUmHnHuH*Rfjlnpr,02468:<>DFHJLNP  rq]q^  rqr]q^rVŒČƌx  rq]q^  & F rq]q  rr]r^ rqrdh]q^r  & F rq]q  rqr]q^rƓ24BDHJZ\f|”Ĕ̔Δ "$,.@Е,.8<>VnƗȗ$( j j jj5UmHnHu5CJ j5jUmHnHuH* j"QZ^`bdfД2468:<>@ rqr]q^r` rqB^]q^B`^  rqr]q^r,02468>Z\^`bdfhjln  rqr]q^rnȗ "$*,.0246<>@VXZ\^`  rq]q^  rqr]q^r(6:@Tjrtvx˜ƘȘҘ8:BJLTVX\^lntvęșʙΙҙԙ68>XZdfjlntvzšܚޚ 8:B\`hln5CJ5jUmHnHu^`bdfhjtxƘʘ̘ΘИҘԘ:DFHJNPRTX  rq]q^  rq]q^X^nvƙș̙Ιԙ6 rq]q^` rq]q^`  rq]q^6:<>X\^`bdhjnv|~ rq]q^`  rq]q^šܚ8< rq]q^`  rq]q^<>@B\bdfhntvxz| rq]q^`  rq]q^nr|~ț02ĞƞȞΞRdBdjlvZġơޡ 2^`r֢4ǺǴǺ j j jCJ CJOJQJ jCJCJ5CJ0JmHnHu0J j0JUCJ5CJ j5UmHnHu5jUmHnHuD 0  rq]q^024ΝȞʞ̞ΞtvZ68n$ & Fa$$a$h]h&`#$ & F' rrdh]r rrdh]r^  rq]q^48@jvܣޣ(*tv "Vtv¥ȥʥ̥Хҥ $.0:<\DF\^fhlnʾ j$CJ jCJ jCJ j$ j j j jCJ jCJ jCJ CJOJQJ5CJCJKܣޣVfh 24اڧNPlҫ& & F$dha$^ $ir]i^ra$$a$§ħاڧ(h*,\^bvx|~̩Ωةک LN^`jlrt̪تڪ "4NRT&(@BFHƬ j"CJ jCJ jCJH* jCJCJH* jCJ5CJ jCJ jCJCJPfذdh $ "@~]~a$$ "@idh]ia$ "@|]|$ "@~dh]~a$$ "@|dh]|a$ $ "@|]|a$Ƭ$Nxz~ 569:<=BCEFz{~ *,8N°z|ܱޱf jCJ jCJCJH* j"CJ jCJCJ5CJWfhnptvȳʳ*jvx~ʴ̴дҴشڴܴ޴&(vxz~$ jCJ jCJ j"CJ jCJ jCJ jCJ jCJ5CJCJH* jCJCJ jCJI$&.0 "$@B%&0$]a$]$]a$$]a$$&248:@BDF޶&(*,LNVXZ\`bhjnpʷ̷$8:0246VX`bdfj j j5CJ5CJ jCJ j55 j" j j jH* jCJ jCJCJH* j"CJCJ jCJFjlrtxzԹֹ  BFº$p»Ի*,248:@BVnpԼ@B !;< CJH* jCJ j"CJ jCJ jCJ jCJCJ5CJ j55 j j j"H*K;<>?A  $(*.02`b,Pl~>@BDJLTV\^~ j$CJ jCJ5CJ j j jH* j"CJCJH* jCJ jCJCJ jCJM0<> ":;! & F p^p`.0Vx,.Jnprxz2<>JL$46:>Rhj jCJ jCJCJH*6CJ j$CJ jCJ j"CJ5CJ jCJ jCJCJN "6PRTVXbd #$%&'(-.@ABCDENOTU[\_`ox jCJ j*CJ jCJ j"CJ jCJ6CJCJH* jCJCJ5CJP)*+79;Cbc012345>?HILM]^_ jCJ jCJ5CJ jCJ jCJ j"CJ6CJCJCJH*S_abefijmnpqrstuv #$34789:Cde j"6H* j j5 j$CJ jCJ jCJ j"CJ jCJ6CJ5CJCJN89:Tnptv &(RTB ^^ & F h^` & F  & F :Nrtvxz|,Jp$068@BDFJLNP j"CJ6CJCJH* jCJ jCJCJ5CJ j"6H* j5 j jOPRTXZ\^`btv"^`268BDTVhjrvx|~ ^bd24|^` j"CJ j5CJ j5CJ jCJ jCJ5CJ jCJ jCJCJ6CJCJH*MBD`z&(NPh0Bz8:DFNPprJLVXbd68PR^`fh jCJ j j j5 j5CJ jCJ jCJ jCJ5CJ jCJCJN~z|Tl ^`dh`dh^ & FdhDFbdrt|~   "24\^jlnp jl~"$>@np|24P jCJ jDCJ jCJCJH*5CJ jCJ jCJ jCJCJR"F"$TVHTX(fhj @ ^@ `p^p ^` & F & FPR8DFXZf24BDPRbdhjl .08:fhpz| 68 BFLPCJCJH* j j j5CJH*5CJ jDCJ jCJCJ jCJQj plnpLfhF ]^ p^p` & F ^`h`h & FPnpz|XZbdhj$&,.46>@NPZ\|~(<HZ\`vx j5CJ j5CJ5CJ j j j j j" j5 jDCJ jCJ jCJCJJF|$&(LN~8N~z|^ & F ]^ "$&(,.468:@BDFLN24BDP~8:>@JLln|~ jCJ jCJ j"CJCJH* jCJ j5CJ j"5CJ 5CJH* 5CJH* j5CJCJ j5CJ5CJ j5CJD (*8:<>NPhjnpXxzdfjlpr~ "<H* j j j5 jCJCJH* jCJ5CJ j"CJCJH* jCJ jCJCJ jCJJ<z| $&46>@BDJLXZ VXf&(<TV`b~8`bd:xz~ (* jaH* ja j5 j j j" j jCJH* j"5CJ 5CJH*5CJCJ5L|XZ &(fh~.RTldh$a$$a$$a$*.FH`b  24<>@BLNRTl "24Jfhjl ,.<>LNRprtv jCJ jCJ jpCJ5 ja5CJ j5CJ5CJ jaCJH* jaCJCJH*N24RRT 6           6 T n p dhdh$dha$$a$ *,:<JLRT .0:<Fp`             6 n p v                   & 0 2 4 @ B D R T V  j"CJCJH* j j" ja j5 jpCJ ja5CJ5CJ jaCJ jCJCJMp  b  Z2468:<>@BXBD $^`a$$`a$$a$$dha$$dha$V X Z b                    " $     68JLPRTV@B,.2468:FHJNPr jCJ j"CJ jpCJ jaCJ5CJ jCJCJVrt P^`npRTj  :<BDLNX|TVLNVX` jCJ jCJ jp55CJ jCJ jpCJ jCJ j"CJCJ jaCJODFHJLNPRTVXPv>Vjl dhdh$dha$$a$`8L$z<pVdh & F#edh^e`dh$dha$ $ & F dha$`bjl$df ",.4T24NP   <    !!""P"R" % %@%B%R%`%b%l%n% j"CJ5CJ jCJ jCJ jCJ jCJ jCJCJ jpCJRVd   !j!!!."P"R""N#f##dh^ & F%dh & F$dh & F$edh^e` & F#dhdh##$\$$$$@%B%%%$&&&&&r'b(d(~)f****,t,,,,dh & F%dhn%t%%%%%&&&&&&:&N&P&Z&\&b&d&r&t&z&|&&&&&r'`(d(f(t(x((((())))"*$*2*4************+R+T+j+l+,,.,0,@,B,~,,,,,,,,,,, jH* j5 jCJ 5CJH* j5CJ jCJ jCJ j j" jp5CJCJL,,,,,--- - -,-h-~-----------------.".$..// 0 0*0,0$1&16181N1P1h1j111111111`2N3R3T3`3d3f333|4~44 j jCJH* jH* j jH*H* j j5 jCJ jCJ jCJ j5CJ 5CJH*5CJ j5CJCJ jCJB,".$..//0D111111`2P3R3t4444456F6H6J6j7l788444444444>5@5V5X55566*6,6B6D6J6^6r6t66666666 7 7$7&7B7f7j7l78889999::::::";$;&;(;*;,;;;;;<<====L=N=P=R= jH*H* j jH*5 jCJ jCJ j5CJ jCJ jCJCJ5CJ j jH* j jH88::D;L;N;2<<r=t=.>X>Z>??@&AZAAAAAABVBiBB ^`^R=T=V=t=================>.>X>Z>??@H@J@n@p@@ABAAAAAAAAABBB B BBB1B2B7B8BABBBVBnBoBBBBBBBBBBBBBBBBBBԺԺ jCJ jCJ j5CJ j5CJCJ5CJ j5 j5 j5 j j j5H* jH*IBBB#C6C7C8C9C:C;CC?C@C rrdh]r^ ^`BBCCCC=C?C@CCJCJ jCJ. A!4"#n$n%|Dd N  s *@@=A2z!(ZQ8lDx`!z!(ZQ8lV`E)|xcdd``a```da ff``L i S;HNQ, R &90d++&1I@ռ@ڈKFC0b&1fZT4uDd rN  s *@@=A2V)9_5x`!V)9_5VS`E)uxcdd``g```da ff``L )1$(VF ` B! ~ Ay _Hq2c`fbT`c`z i0@0 Normal_HmH sH tH 0@0 Heading 1$@&CJ8@8 Heading 2$v@&]vCJF@F Heading 3$$ Z@&^a$CJJ@J Heading 4$$ Z@&^a$5CJ6@6 Heading 5$$@&a$CJ<A@< Default Paragraph Font0B@0 Body Text$a$CJ,>@, Title$a$5CJFC@F Body Text Indent$@ ^@ a$CJ.@". Footnote Text8&@18 Footnote ReferenceH*6P@B6 Body Text 2 v]vCJ<Q@R< Body Text 3$]a$CJ, @b, Footer  9r &)@q& Page Number.U@. Hyperlink >*B*ph5e + CC>t.-.7_ !v"=$c%L'()x)+P,-u-.../011n1 22334556Y88:)={==?C@;BdBBDEEF^FHIJKNNQ RS1U;DQnoz     XW 7J9Z[kmw5e + CC>t.-.7_ !v"=$c%L'()x)+P,-u-.../011n1 22334556Y88:)={==?C@;BdBBDEEF^FHIJKNNQ RS1U4U      !"#$%&'()*+,-./0123456789:;<=>?@ABCDEFGHIJ2 *Wa Ip?n"TUVWXYZbcde{|~sLg!   I Q n o 4 .V./HNi DGMNPQRT(X@Ad9M|+awx #$%()*+,-}'I !!!!!!!!!!!!!!!!!!""C"E"F"G"I"J"K"M"N"O"P"R"S"T"U"X"\"]"a"b"f"i"k"r"s"""6#7####$%%%%%%%%&&&&&&&&N''(/)0)q)r)/*0*E*F*H*I*J*K*p*r*s*t*u**+ ,|,,,,,,,,,,d-.6.7.G.Y.$/&/'/(/)/+/,/-/.///0//0^0A1E1H1111122 2 2!2#2$2%2&2'2I2K2L2M2N2O2P2Q2R2S223344425455565758595:5;5<5=5c5e5f5g5h5i5j5k5m5n5o5p5q5r5557777777K888888 9)989999>:K:q::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::;;;;;;;;.;P;R;S;T;U;W;X;Y;[;\;];;;;;;;;;3<<<<<<<<<<<<<<<<<<=======>Q>T>U>V>W>X>Y>Z>[>\>]>>*?????????????@@@@@ @ @ @ @@3@7@8@9@:@<@=@>@?@@@A@C@E@F@I@K@L@M@N@O@P@j@l@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@AAAA&A,A-A/A1A5A6A7A8ANAPAQARA_AeAfAhAjAnAoAqAtAwAxAyAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABBBBBBBCCCCEFFF?F@FAFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFGGGGGG~GGGGGGGHIJJJJJJJ#K%K&K'K)K*K+KKKKKKKKKKKKKKKKLL(L*L+L,L-L/L0L1L2LLLLLLLLLLMMMMMMMMM M M7M]M^M_M`MaMbMcMdMeMhMiMjMkMlMmMnMqMrMsM~MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMN NNNNN#N$N)N+N,N.N/N0N2N6N7N9N:N=N]N^NnNpNqNrNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNOOOOO O OOOOOOOOOOOOO+O-O.O/O0ODOEOFOGOHOIOJOKOLOMONOOOPOQOROSOTOUOVOWOXOYOZO[O\O]OkOlOmOO:PPPPPQQRRRR SSASBSCSSSTTXTYTZTTT?U@UUUVVVV WggGhhh/iiizjjjj1kkkdlelllmmrnsnnn2o3oooVpWppqqqlqqqqjrkrrrrr s/s0ssss&t'tcttttt>u}uuvvvvWwXwxxQxxxxxyyYyyyyyyy1z2zez{;{<{{{|*|+|c|d|e||||}}} } }P}k}}}}}.~/~~~~+lm&Tlm'(قڂ3wx/`aDօׅ)*FGֆVW%&=H$-:HWdeމzڊ"FGHIJKLMNً9ΌόЌьҌӌԌՌ֌׌،ٌUhp̍؍ %345ݎ'Iӏ?jK(Xߒmn!:bzĔՔ֔&T`ە,0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000(0(0(00r)80r)00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00* 00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00* 00*00*00* 00*00* 00*00* 00*00* 00*00*00*00* 00* 00*00* 00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00* 00* 00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00* 00*00*00*00* 00* 00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00* 00*00*00*00*00*00*00* 00* 00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*00*' 00*' 00*0@0@0 0000000 0 0000000000000000000000 0 0 00000000000000000000000000000000000A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A0A 0A 0A 0A 0A0A0A0 0 0 00000000 00 00 00 00 00000000000000 0! 0!0!0!0!0!0!0!0!0!0!0!0!0! 0! 0!0!0!0!0!0!0!0!0!0! 0!0!0!0!0!0! 0!0!0!0!0!0!0!0!0!0 0x)0x)0x)0x)0x) 0x)0x)0x)0x)0x)0x) 0x)0x)0x)0x)0x)0x)0x)0x)0x)0x)0x)0x)0x)0x)0x)0x)0x)0x) 0x)0x)0x)0x)0x)0x)0x)0x)0x)0x)0x)0x)0x)0x)0x)00000000000000000000000000]30]30]30]30]3034034034000)50)50)50)50)50)50)50)50)50)50)50)50)50)50)50)50)50)50)50)50)50)5000j80080808008080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080808H080D<0D<0D<0D<0D<0D<0009=00O=0O=0O=0O=0O=0O= 0O= 0O= 0O= 0O= 0O= 0O=0O=0O= 0O=0O=0O=0O=0O=0O=0O=# 0O=# 0O=# 0O=# 0O=# 0O=# 0O=0O=0O=0O=# 0O=# 0O=0O=0O=0O=0O=0O=$ 0O=$ 0O=$ 0O=$ 0O=$ 0O=0O=$ 0O=0O=0O=0O=% 0O=% 0O=0O=% 0O=% 0O=% 0O=0O=0O=0O=% 0O= r*/9@pF QU[cforv~x`(n4Ƭf$j_PPP<*V r`n%,4R=B@C  2 \"+/2=t?GH$KS[_cglfr s>ssvyN}}~rffn`X6<00jF|p DV#,8B@C   ?C&&&&&& !!8u{@z(  >2   ">2   "P   " VB  C D"V  # " \B   S D"\B  S D" \B  S D" \B  S D" VB  C D"  VB  C D" >b   " >R   "  >r   " V  # " VB  C D" >2   " D2 !  "\B " S D"\B $ S D"\B & S D"\B ' S D"D2 )  jJ" 8 BLC|DE$FnjJIID{<<H| (&0m0KXaXP.qBLW~jhtAX$<xC5Pj)4@Vh[hku|_uy4hLd`Rp@Y8?LLLI80-4wD48@                        `3"\B 9 S D"V ; # ;" VB < C D">2 =  ">2 >  "\B ? S D" \B @ S D" \B A S D"$\B B S D"!\B C S D""V D # D" VB E C D"# >2 G  "* >2 H  ") \B I S D"%\B K S D"&\B L S D"'\B M S D"( \B O S D"+V Q # Q", >2 R  "->2 S  ".\B T S D"0\B U S D"1\B V S D"/VB Y C D"3VB Z C D"2\B \ S D"4\B ] S D":8VB a C D"8(VB b C D"=6VB c C D"7VB d C D">(VB f C D"9,VB g C D";.\B i S D"6\B j S D"?&bB k c $oD"<'bB l c $CD"5V n # n" V o # o"A >b p  "D >b t  "CVB w C D"B V z # z"F  VB { C D"E>b ~  "H>b   "G\B  S D1"IV  # "J  VB  C D"K VB  C D"L V  # "M  VB  C D"NVB  C D"OVB  C D"P\B  S D"R\B  S D"d\B  S D"Q\B  S D"aVB  C D"W \B  S y1[D"c\B  S 4YD"bVB  C D"U VB  C D"^ \B  S D"T \B  S D"X bB  c $D"S bB  c $D"VVB  C D"[ \B  S 4YD"`\B  S 4YD"_bB  c $D"\bB  c $D"Z\B  S D"Y\B  S D"]VB  C D"fVB  C D"eP    "g  t o$ 3  3"l`  c $X99?o$N    ot $  TB  C DtTB B C DTB B C DttTB  C D #  t U u% 3  3"o`  c $X99?U u%TB  C DTB  C DTB  C DExexTB  C DTB  C DTB  C DEP   "n P   "p V  # "q P   "r VB  C D"sV  # "t VB  C D"ubB  c $D>"|bB @ c $D>"}bB  c $D>"{bB  c $D>"x\B  S D>"z\B  S D>"y\B @ S D>"w\B  S D>"vP   "~ P   " P   " P   " P   " \B  S D"h\B  S D"jVB  C D"iVB  C D"kP   " V  # " VB  C D" VB  C D"VB  C D" VB  C D" VB  C D" P   " VB  C D"VB  C D"P   " VB  C D"P   " VB  C D"VB  C D"VB  C D"P   " P   " VB  C D"V  # " VB  C D" VB  C D"\B  S D"\B  S D"VB  C D"VB  C D"\B  S D"\B  S D"P    "  P   !" !VB  C D"VB  C D"VB  C D"VB  C D"P   "" "VB  C D"VB  C D"P   #"@ #>R   "mP   $" $VB  C D"P   %" %P   &" &P   '" 'P    (" (P    )" )P    *" *P    +" +P    ," ,P   -" -P   ." .P   /" /VB  C D">r   "P   0" 0P   1" 1>2   " VB  C D"VB  C D"VB   C D"VB ' C D">2 )  " VB * C D" VB + C D" VB , C D" VB - C D" VB . C D" VB / C D"VB 0@ C D"P W  5"1 5V X # 4X"/ 4VB Y C D"4VB Z C D"3VB [ C D"0VB \ C D"2VB ] C D".VB ^ C D"->2 _  "VB ` C D"VB a C D">2 b  "!VB c C D" VB d C D">2 e  "+VB f C D"*VB g C D")>2 h  "&VB i C D"%VB j C D"$VB k C D"VB l C D"VB m@ C D"(VB n C D"# o lBlCDEF;Pl+dd@  3" p lB[CDEFB0T}[TT@  3" q BC.DE4F '.<64 ]=Re @    3"' r BvC&DE4F "o&"9Q^2)Bvv @    3""VB s C D",VB t C D"VB u C D"VB v C D"VB w C D"P   3"9 3VB  C D"B VB  C D"A VB  C D"> VB  C D"@ VB  C D": \B  S D"? \B  S D"; \B @ S D"= \B @ S D"< VB  C D"GVB  C D"F VB  C D"E VB  C D"D VB  C D"C \B  S D"K\B  S D"J\B  S D"I\B  S D"HP   2"L 2P   6"M 6P   7"^ 7VB  C D"Q VB  C D"R>2   "[ >2   "Z >2   "n >2   "oVB  C D"]VB  C D"\VB  C D"fVB  C D"mVB  C D"PVB  C D"tVB  C D"cbB @ c $D"bB  c $D"6bB  c $D"bB  c $D"5bB  c $D"bB  c $D"8\B @ S D"bB  c $D"7VB  C D"YVB  C D"bVB  C D"aVB  C D"gVB  C D"sVB  C D"lVB  C D"rVB  C D"X\B  S D"W\B  S D"T\B  S D"V\B  S D"S\B  S D"k\B  S D"e\B  S D"j\B  S D"dVB  C D"UVB  C D"OVB  C D"hVB  C D"i  VBCDEF\'@ 3"`  VBTCDEFT@ 3"_  BC7DE4F Gh3D f,d7 @    3"q  BCzDELF$o>s! H3 (w 3DhhKRz`,@      3"pVB  C D"uVB  C D"yVB  C D"vVB  C D"NVB  C D"z\B  S D"x\B  S D"w\B  S D"|\B  S D"{P   8"} 8P   9"~ 9VB  C D"VB  C D" bB  c $D" bB  c $D"bB  c $D"bB  c $D" bB  c $D"bB @ c $D"bB  c $D"bB @ c $D"bB  c $D"bB  c $D"bB @ c $D" P   :" :P   ;" ;P   <" <VB  C D"VB  C D"bB  c $D"bB  c $D"bB   c $D"bB   c $D"bB  @ c $D"P    =" =P   >" >P   ?" ?P   @" @VB  C D"VB  C D"bB  c $D"bB  c $D"bB  c $D"bB  c $D"bB @ c $D"P   A" AVB  C D"VB  C D"bB  c $D"bB  c $D"bB @ c $D"P   B" BV  # C" CVB   C D"VB ! C D" VB " C D"VB # C D" VB $ C D"VB % C D"VB & C D" VB ' C D"hB ( s *D"nB / 0 C D"VB ? C D"VB @ C D"VB A C D"nB C 0r l  "V m # Jm" JVB n C D"VB o C D"VB p C D"VB q C D"VB r C D"VB s C D"VB t C D"nB u 0D" hB v s *D"P w  K" KVB x C D">r y  ">r z  "B S  ?|!"#$   NiDEGHNRT9:;M|} !%& !!!C"G"K"P"U"V"X"Y"Z"]"^"_"b"c"d"f"g"i"k"l"m"n"o"p"##%%%&&&&&&F*p*,,$/)/A1B1C1H1I1J1K1L1!2I225c5k55::::::P;U;Y;;;<<<<=Q>R>?????@@@@ @3@4@5@:@A@C@F@G@I@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@&A'A(A)A*A-A/A1A2A3ANA_A`AaAbAcAfAhAjAkAlAoAqArAtAuAAAAAAAAAAAAAAAAABM?M@MAMBMCMDMEMFMGMHMIMJMKMLMMMNMOMPMQMRMSMTMUMVMWMXMYMZM[MeMfMnMoMsMtMuMvMwMxMyMzM{M|MMMMMMMMMMMMMMMMMMNNNNNNNN N N NNNNNNNNNNNNNNNN N!N$N%N&N'N)N,N0N2N3N4N7N:N;NnNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNOOOO O OOO+O0O1O2O3O4O5O6O# tl#t%t,t <YYt< t,9 It9\It<tBtfft | TtLTt < 4tnl#t*#t,#,t)\t8< t!I~ >t~|>t&\Zt"\t'\t$\t9|Lt;#t<,#,t=|#p t><p tDt?b,!bt@,!tBn,!tC,!7tEtA< tICtKCtLtMtHs< 3 tGs|3 tO|ELEtQ*#tR T#tSTtVL"tT`L"`tUL"tZ||>tYfft\8tl8ti88tc88tabbtflnlt],L"tgntklzmJtbtdtjlt#ntol"ftwLLttltpLt{LLHtzl"Htl|t~L|t < <tl#tt\*l*tll#4tll#tll#tl l# t  | t|<| tt t tL`Lt` `t `L`tJ<Jt<J<t|JJttt|t -t< =-t<!t -tL M-t,t<<tltll#Pt<< t tH| Ht t(# t H< t#t(#Ttll#tll#tr`N#0t&"tl# tt"tRttRtttt ,t J,Jtl#tl#tl#5 tl$tl$tl$N tl #tl#tl#tl#tl#tl6#6tl#P tl#tl#tl*#tl#tl#` tLILt\U UtlU#Utl#Ztl#8 tl#tl#tL<Lt| tlT<ttTttLLttt| tl#tlm#Otl#t ,! t| |mtUt||tl#Bt rrttl#t$h t#  h t"llh t < < h t!||h tl#h t%l#t' t& t( t/,L~t0l#t1 ; t6,L9t5 t2 t7l}#mt>h t=  h t<llh t:< < h t;||h t9l#h t?l#tA t@ tCtDl#tE ; tHetF tOtN\\tMtKtJl#tPl#tRtX\ 4 TtY 4 TtQ tZl#t]|| t\< < t[l# t_ t`<< tal#tcXtjtetb\ f ftfl#th\ ! !tgtilotdo\tkl#utl!<tq Ytp Ytn Yto Ytml#etrl#tttu^ 0tv  =ts,tx twl# tzE,tyE|tl#tl}#tl#tl;#t lo#Ot l#t l#t l#xtl#kt l#XtlI#tl# tlZ#Zt,Ftl#"tl>| >tl| t*\Z\z t'|Z|z t.| ,!jt0| ,! t/jt-\jt,j$jt+jLjtz"Z t)lzZ t l| tlj| jt M!MtM\MtM <M tM M twl#tvl]#]tul#ttl#tom  tkM  taL  t`- t_ \=tlM < tpm : tdl tc<- <]tb |=tr|  3tn !Mtj ] til#th]L"tq< ;tm\Mtgtf\\te]ts , t^ M t],M , tXM t[} }tWl[#t\[ [tZ tYK K tItIt!]! t] tl#t\"\tbtbtbt,",t b,t"t " t,,tftftft  ft,,t\ >t<>t,l>t\  >tZl#tl# t ,tl_ < t\ tCl#Ctl#ttttttll7tll7t,t,tll t   t\ t(t#7t<t <t t!!t,,gt7\ 7tCt<t!t"tLt|C|t\ t,St<!StKP tTtL"tLtg\ gtl#t  Gt,3t3tttl7Wt<7Wt*$jtZ$t t|^  t\j|tj\jt\j\Ztv|vt|v|Ft jt t\ # t/Ot//t;;tk$t$tG#tot \w t\w\!t \wwt || t tFt $tZ$Zt|:t\\z tLLz t t<<f tlB!Bt t$tc$kt; Kt;t[ [ t,;";ttt%(*37>?GHNOVaimt #$+.56?IVp &?FJPTZnrsz{")*89@  "%,;AEHINOQTX[dv|} %&(.23;>EFMNWX\]abjr 1:RW[`muv 58;Cgijrv|}   =E|PPPPPPPPPPImp9P".2L# - 4  o r |~<=VZ46lmT]OPPPPPPPP33333333333333333333333333333333333333333333PPLucica.C:\WINDOWS\TEMP\AutoRecovery save of mate1.asdLucica!C:\WINDOWS\Desktop\lala\mate1.docLucica!C:\WINDOWS\Desktop\lala\mate1.docLucica.C:\WINDOWS\TEMP\AutoRecovery save of mate1.asdLucica!C:\WINDOWS\Desktop\lala\mate1.docLucica.C:\WINDOWS\TEMP\AutoRecovery save of mate1.asdLucica!C:\WINDOWS\Desktop\lala\mate1.docLucica.C:\WINDOWS\TEMP\AutoRecovery save of mate1.asda9C:\Documents and Settings\a\My Documents\functii mate.docDVDID:\My Documents\NET\REFERATE\REFERATE.RO\matematica\MAT2\functii mate.doc'TE8369 Kx gj^,ZA | Z#; s / E  [ZER!Z $Y3 F6 w8 !8 2< 3%B W=yC ir7J H7K @iUZEwW L&Y |Z ]  C]L`̄"G)d .1f j Zo g!p {Nq Lr̄"9t u O}w Uz ^`o(.hh^h`o()88^8`o()^`o(.^`o()^`o(.hh^h`)hh^h`.hh^h`5o()hh^h`o()^`o(.^`o(.hh^h`.hh^h`o()hh^h`.hh^h`.hh^h`.hh^h`.hh^h`o()hh^h`.hh^h`.^`o(.hh^h`.hh^h`o()hh^h`.hh^h`. hh^h`OJQJo(BB^B`o()hh^h`.hh^h`o()hh^h`o()hh^h`)hh^h`.hh^h`o()BB^B`o()hh^h`.hh^h`o()hh^h`o()hh^h`)'EwWG)dH7K{NqZoKxj!8 C]A O}w.1fTE8`Lrw8sW=yCE 9^,#;UzF6@iUER!L&Yu/| [2<ir7J9t|Zg!p3%B] $Y3'':PPP@PPd9MOOPPH $%'(*+,_._/_0S2S3S5S8S9S:S;S>SBSFSGSLSMSNSOSRSSSTSUSXkYkZk[k\k]k`abcdefgklmrsuwxz{}~@@@@@@"@0@2@4@L@N@@@T@@@Z@@@^@`@@@d@@@h@n@p@r@t@z@@@@@@@@@@@@\@@@@@@@|@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ @@@@@@@ @"@$@&@(@*@,@.@0@2@4@6@8@:@@UnknownGz Times New Roman5Symbol3& z ArialKCasablanca Italic"1hUlFjl {B"Y0dQ2QFUNCbIILucicaDVDOh+'0l   ( 4 @LT\d FUNCŢIIUNCUNCLucicaIuci Normal.dotCDVD3DMicrosoft Word 9.0@F#@ט@G@(BN {B՜.+,0 hp  Acasa"Q  FUNCŢII Title  !"#$%&'()*+,-./0123456789:;<=>?@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]^_`abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}~      !#$%&'()*+,-./0123456789:;<=>?@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]^_`abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}~Root Entry FHFNData 1Table"WordDocument2SummaryInformation(DocumentSummaryInformation8CompObjjObjectPoolHFNHFN  FMicrosoft Word Document MSWordDocWord.Document.89q