ࡱ> uwtYQbjbjWWx=='],TI$GGGGGGG$3J'L|"Hy*"H4444GG449EG\$` M,zGHCriteriul de divizibilitate cu 10 Exemplu: a) Se pot a_eza 630 kg de mere n lzi de 10 kg, toate pline? Dar 500 kg? Da, pentru c: 630:10=63 adic 630=63*10 500:10=50 adic 500=50*10 b) Se pot a_eza 588 kg de castraveci n cutii de 10 kg? Dar 66 kg? Nu, pentru c: 588=58*10+8 66=6*10+6 Numerele 630 _i 500 se divid cu 10. Numerele 588 _i 66 nu se divid cu 10. Generalizm: Dac ultima cifr a unui numr natural este 0, atunci numrul se divide cu 10. Dac ultima cifr a unui numr nu este 0, atunci numrul nu se divide cu 10. Exemple: 56950 se divide cu 10 pentru c are ultima cifr 10. 45684 nu se divide cu 10 pentru c nu are ultima cifr 10. Numerele de forma 28z snt divizibile cu 10 dac z=0. Not: Dac numrul natural f se divide cu 10, atunci f se divide cu 2*5, deci cu 2 _i cu 5. Exercicii: Aflaci numrul natural x care este multiplu a lui 10 _i verific relacia: 55<x<80 deci X={60,70} 8x+9x<171 deci X={10} 95>x deci X={10,20,30,40,50,60,70,80,90} Aflaci mulcimile A,B pentru care se verific relaciile: A={xx N*, 101> x, x se divide cu 10} B={xx N, 54<x<60, x se divide cu 10} C={ xx N*, 25>x, x nu se divide cu 10} D={ xx N, 15<x<20, x nu se divide cu 10} Rezolvare: A={10,20,30,40,50,60,70,80,90,100} B=O C={1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19,21,22,23,24} D={16,17,18,19} Fie numrul ab . Deoarece ab=10a+b, rezult c 10 ab dac _i numai dac b=0 Criteriul de divizibilitate cu 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 Privici numerele de mai sus.Numerele de culoarea mai ntunecat sunt multipli ai lui 5, celelalte-nu. Hai s verificm cteva numere: 5 se divide cu 5, pentru c 5=5*1 20 se divide cu 5, pentru c 20=5*4 39 nu se divide cu 5, pentru c 39=5*7+4 12 nu se divide cu 5, pentru c 12=5*2+2 Observm: 15,60,95,110 _i alci multipli ai lui 5 au ultima cifr 0 sau 5. Niciodat nu pot fi alte cifre!!! ***Dac ultima cifr a unui numr natural 0 sau 5, atunci numrul se divide cu 5!!! ***Dac ultima cifr a unui numr nu este 0 _i nici 5, atunci numrul nu este un multiplu a lui 5!!! Vreti sa stiti mai mult??? Dintre numerele de o cifr se divid cu 5 numai 0 _i 5. Fie numerele ab . Atunci ab=10a+b. 10a se divide cu 5, oricare ar fi a N. Numrul ab se divide cu 5 dac _i numai dac b {0,5} Fie numrul abc. Atunci abc=10ab+c. Deoarece 510ab, rezult c 5abc dac _i numai dac 5 c, adic c {0,5} Exemple: numrul 560 este divizibil cu 5, deoarece are ultima cifr 0. numrul 1595 este divizibil cu 5, deoarece are ultima cifr 5. numrul 4586 nu este divizibil cu 5, deoarece nu are ultima cifr 0 sau 5. numerele de forma 53h snt divizibile cu 5 dac h {0,5} Exercicii: Doi iepura_i urc o scar salturi. Cel mai mare sare treptele din cinci n cinci, iar cel mai mic din trei n trei. Scrieci numerele treptelor pe care le va atinge iepura_ul cel mai mare. Scrieci numerele treptelor pe care le va atinge iepura_ul cel mai mic. Scrieci numerele treptelor pe care le vor sri mpreun. Rezolvare: I.m.={0,5,10,15,20,25,30,35,40} I.mic={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39} I.mare)"I.mic={0,15,30} Criteriul de divizibilitate cu 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 Privici numerele de mai sus. Acest _ir de numere este o parte din _irul numerilor naturale. Numerele de culoarea neagr sunt divizibile cu 2, iar celelalte numere nu snt divizibile cu 2. Haideci s analizm cteva numere: 12 se divide cu 2, deoarece 12=2*6 34 se divide cu 2, deoarece 34=2*17 85 nu se divide cu 2, deoarece 85=2*42+1 53 nu se divide cu 2, deoarece 53=2*26+1 Observm: 20,52,564,3596,268 _i alte numere care snt multipli ai lui 2 au ultima cifr 0 sau 2, sau 4, sau 6, sau 8 (cifrele 0,2,4,6,8 snt numere pare) 11,23,2265,20007,3169 _i alte numere care nu snt multipli ai lui 2 nu au ultima cifr nici 0, nici 2, nici 4, nici 6, nici 8. Snt divizibile cu 2 numai numerele care au ultima cifr par!!! Generalizn: ***Dac ultima cifr a unui numr natural este par, atunci numrul de divide cu 2. ***Dac ultima cifr a unui numr natural nu este par, atunci numrul nu se divide cu 2. Observm: Numerele divizibile cu 2 snt numere pare _i snt de forma 2*n, unde n N. De exemplu, 18=2*9, 124=2*62. Numerele care nu snt divizibile cu 2 snt numere impare _i snt de forma 2*n+1, unde n N. De exemplu, 23=11*2+1, 2001=2*1000+1. Exercicii: mprcind un numr natural la 2, se obcine restul 1. Care poate fi ultima cifr a acestui numr? Rezolvare: Ne reamintim de forma numerelor impare nedevizibile cu 2. Ea este 2*n+1. Aceste cifre pot fi mau multe: 1,3,5,7,9. Rspuns: Ultimile cifre la acest numr pot fi mai multe. Ele snt: 1,3,5,7,9. Criteriul de divizibilitae cu 3 La o competicie sportiv particip 468 de fete _i 625 de bieci. Pot fi repartizate fetele n mod egal pe 3 coloane? Dar biecii? Rezolvare: 468:3=156; 3468 625:3=208 (rest 1); 3 625 Fetele, da! Biecii, nu! Dar de ce? Observm: 1+2=3 7+2+0=9 8+9+1=18 Numerele 12,720,891 precum _i alci multipli ai lui 3, au suma cifrelor divizibil cu 3. 2+6=8 2+6+8+1=17 15788 1+5+7+8+8=29 Numerele 26,2681,15788 precum _i alte numere care nu snt multipli ai lui 3, nu au suma cifrelor divizibile cu 3. Generalizm: ***Dac suma cifrelor unui numr natural de divide cu 3, atunci numrul se divide cu 3. ***Dac suma cifrelor unui numr natural nu se divide cu 3, atunci numrul nu se divide cu 3. Vreti sa stiti mai mult? Fie numrul ab. binem cont c ab=10a+b=9a+(a+b) _i, deoarece 3 9a, rezult c 3 ab dac _i numai dac 3 (a+b) Exemple: Numrul 66351 este divizibil cu 3, deoarece suma cifrelor sale, 6+6+3+5+1=21, este multiplu al lui 3. Numrul 5165218 nu este divizibil cu 3, deoarece suma cifrelor sale, 5+1+6+5+2+1+8=28, nu este un multiplu al lui 3. Exercicii: Aflaci x, astfel nct numrul: a) 87x4 b) 569x c)x588 s fie divizibil cu 3. Rezolvare: 87x4 deci X={2,5,8} 569x deci X={1,4,7} x588 deci X={3,6,9} {0 nu poate fi deoarece nu exist nici un numr care s se inceap cu 0!} Criteriul de divizibilitate cu 4 ntr-un co_ snt 24 mere _i n al 31 mere. Maria, Sandu, Ion si Vicu vor s mparte merele din primul _i al doilea co_ n patru prci egale.E posibil? Rezolvare: 1) 24:4=6;4 24 Merele din primul co_ se pot mprci n 4 prci egale. 31:4=7 (3 rest) 4| 31 Merele din al doilea co_ nu se pot mprci n 4 prci egale. Observam: 24:4=6 25488 88:4=22 Numerele 1524, 25488 precum _i alci multipli ai lui 4, se mpart la 4 deoarece ultimele 2 cifre se mpart la 4. 42:4=10 (2 rest) 23:4=5 (3 rest) Numerele 1542, 523 precum _i alte numere care nu snt multipli ai lui 4, nu se mpart la 4 deoarece ultimele 2 cifre nu se mpart la 4. Generalizm: ***Dac numrul format din ultimele 2 cifre se mparte la 4, atunci tot numrul se mparte la 4. ***Dac numrul format din ultimele 2 cifre care nu se mpart la 4, atunci tot numrul nu se mparte la 4. Exemple: Numrul 524 se mparte la 4 deoarece ultimele 2 cifre se mpart la 4: 24:4=6 524:4=131 Numrul 125 nu se mparte la 4 deoarece ultimele 2 cifre nu se mpart la 4: 25:4=6 (1 rest) 125:4=31 (1 rest) Exerciciu: Aflaci x, astfel nct numrul: a) 52x4, b) x2x2 s fie divizibil cu 4. Rezolvare: 52x4, deci X={0,2,4,6,8} x2x2, deci X={1,3,5,7,9} Criteriul de divizibilitate cu 25 Gicu are 100 timbre _i 120 de creioane. El vrea s mpart timbrele _i creioanele n 25 prci egale. E posibil? Rezolvare: 100:25=4, 25|100 Timbrele se pot mprci n 25 prci egale. 120:25=4 (20 rest), 25|120 Creioanele nu se pot mprci n 25 prci egale. Observm: 1200:25=48 1250:25=50 Numerele 1200, 1250 precum _i alci multipli ai lui 25, se mpart la 25, dac _i numai dac nr. se termin cu: 00, 25, 50, 75. 1251:25=50 (1 rest) 1378:25=55 (3 rest) Numerele 1251, 1378 precum _i alte numere care nu snt multiple ai lui 25, nu se mpart la 25, dac _i numai dac nr. nu se termin cu: 00, 25, 50, 75. Generalizm: ***Dac numrul se termin cu 00, 25, 50, 75, atunci tot numrul se mparte la 25. ***Dac numrul nu se termin cu 00, 25, 50, 75, atunci numrul nu se mparte la 25. Exemple: Numrul 525 se mparte la 25 deoarece ultimele 2 cifre snt 25: 525:25=21 Numrul 215 nu se mparte la 25 deoarece nu se termin cu 00, 25, 50, 75: 215:25=8 (15 rest) Exerciciu: Aflaci x,astfel nct numrul: a)25xx, b)1xx5 Rezolvare: 25xx, deci X={0} 1xx5, deci X={2,7} Criteriul de divizibilitate cu 6 ntr-o magazie snt 1500 caiete _i 1453 stilouri. Aceast magazie vrea s repartizeze la 6 magazine un numr egal de caiete _i stilouri.E posibil? Rezolvare: 1500:6=250, 5|1500 Caietele se pot repartiza n mod egal 6 magazine. 1453:6=242 (1 rest) Stilourile nu se pot repartiza n mod egal la 6 magazine. Observm: 1500:6=250 120:6=20 Numerele 1500, 120 precum _i alci multipli ai lui 6, se mpart la 6, dac _i numai dac aceste numere se mai mpart la 2 _i la 3, adic, nr. trebuie s se termine cu o cifr par _i ca suma cifrelor numerelor s se mparte la 3. 105:6=17 (3 rest) 32:6=5 (2 rest) Numerele 105, 32 precum _i alte numere care nu snt multipli ai lui 6, nu se mpart la 6, dac _i numai dac aceste numere nu se mpart la 2 _i la 3, chiar dac suma cifrelor nr. se mpart la 3 _i nr. nu se mparte la 2, atunci nr. nu este divizibil cu 6 _i invers. Generalizm: ***Dac nr. este divizibil _i cu 2 _i cu 3, atunci nr. este divizibil cu 6. ***Dac nr. nu este divizibil cu 2 _i cu 3, atunci nr. nu este divizibil cu 6. Exemple: Nr. 216 se mparte la 6 deoarece: 216:2=108 216=2+1+6=9:3=3 216:3=72 Nr. 152 nu se mparte la 6 deoarece: 152:2=76 6| 152 152=1+5+2=8:3=2 (2 rest) 3| 152 Nr. 105 nu se mparte la 6 deoarece: 105=1+0+5=6:3=3 6| 105 105:3=35 105:2=52 (1 rest) 2| 105 Nr. 125 nu se mparte la 6 deoarece: 125=1+2+5=8:3=2 (2 rest) 6| 125 3| 125 125:2=64 (1 rest) 2| 125 BD@  > V   : B D X Z   \ `   t v HhrJLPRdfx|~㺴㪤 5B*mH 5B*mH 6CJ$mH6CJ$OJQJmH 5B*mHj5B*UmH 56mH6mHj5UmH >*B*mH 5B* mH5mH 5B*mH56CJ0OJQJ6CJ$OJQJ<DV<p,@&8 > V  D $ & F$ & F$ & F$ & F$ & F$DV<p,@&8 > V  D \  ^ t Hh PhtR|$$&                                  =D \  ^ t Hh PhtR|$$$$ & F$ & F,0JNPh|$*$&(,tx&(TV\^bflntƣƣ6B*CJ$OJQJmH 56B*j5B*UmH5B*5B* B* mH5B* OJQJmH6>*B* OJQJmH 5B* mHj5B* UmH6>*B*OJQJmH 5B*mH 5B*mH 5>*B*mH 5B*mH 5B*mH 5B*mH4&**@  Tl, r $ & F $ & F$ & F$ & F$**@  Tl, r !^!r!"#$,$$%%(&r&x''P(f(L)^))))))))4*8+N++<,R,f,t,,,J-X-p--..N/ 0>0101볮뤟                           >tv| $(.6<BHNTX`dl^!r!$,$%%0&2&&'('x''))4*8+L+N+V+R,d,f,h,t,v,,赬j5UmH5mHj5B*UmH6B*CJ$OJQJmH5B*CJ$mH 56B*mHB*mH >*B*mH >*B*mH >*B* mH 5B*mH 5B*mHD !^!r!"#$,$$%%(&r&x''P(f(L)^))))))$K$ & F$ & F$ & F$ & F $ & F  h$)))4*8+N++<,R,f,t,,,J-X-p--..N/ 0>010112$ & F$ & F$ & F$ & F$ & F$,,,J-L-X-Z-p-r--.. 0 0>0B0101223333344526H6J666~77777788888: :;;T=j==>*>t>>Ⱦாா 5>*B*mH >*B*mH6>*B*CJ$OJQJmH5B* 56B*mH56>*B*mHj5B*UmH>*B*OJQJmHj>*B*OJQJUmH 5B*mH >*B* mH 56>*mH5mHj5UmH60112233334444526H6h667~7777888: ::;;V<d<x<=0=T=j==>B>t>v>x>z>|>~>>>>>???8@p@@@@A B4B\BCCLDDEEE0FVFlFF                      H2233334444526H6h667~7777888: ::$ & F$ & F$ & F$ & F$ & F$:;;V<d<x<=0=T=j==>B>t>v>x>z>|>~>>>>>???8@p@$ & F$ & F$>>>????8@:@f@@@@A B\BCCDEVFlFFFF$G8GzGHHHHH>IIIJ KK~KKK&L@MLM:NTNOO8P9PPPPPPPPPQ#Q$Q%QOQPQWQXQQQݺݺݺ 6B*mH6>*B*CJ$OJQJmH >*B* mH >*B*mH5B* 56B*mH 5B*mHj5B*UmH6>*B*CJ$OJQJDp@@@@A B4B\BCCLDDEEE0FVFlFFFG&G(G*G,G.G0G2G4G$ & F $FFG&G(G*G,G.G0G2G4G6G8GzGHHH@IhIIIJJKL&L:NTNNOOOO PP8PlPPPPPPPP$QOQWQjQQ !  !     04G6G8GzGHHH@IhIIIJJKL&L:NTNNOOOO PP8PlPPP$ & F!$PPPPPP$QOQWQjQQ$ . A!"#$% [&@&1KG=K9mH:A@:A=>2=>9 H@8DB 0170F04>@40720=85$ 5CJmH 'xt,>Q)-037D  )2:p@4GPQ*,.12568:;01FQ+/498_`@>_N(  HB  C DHB  C DHB  C D   VBCiDEF#Fi@ HB   C D   VB,CxDEF,Bx@ HB  C DHB  C D HB  C D HB  C D HB  C D   BCDE4F Q;pkka V%I @     HB  C DHB  C DHB  C DHB  C DHB  C DHB  C DHB   C DHB ! C DHB % C DHB & C DHB ' C DHB ( C DHB ) C DHB * C DHB + C DHB , C DHB - C DHB . C DHB / C DHB 0 C D"HB 1 C D!HB 2 C D HB 3@ C DNB 4 S D#NB 5 S D$NB : S D%NB > S D&NB ? S D'NB @ S D(HB A C D)HB C C D+HB D C D*HB E C D,HB F@ C D-HB O C D.HB P C D0HB Q@ C D/HB R C D3HB S C D2HB T C D4HB U C D1HB W@ C D5HB X@ C D7HB Y@ C D9HB Z@ C D;HB \@ C D<HB ]@ C D:HB ^@ C D8HB _@ C D6B S  ?./W45678O a b c d e f 3:C $kUVhijd8&&&&$'O'W''* # #tf+ft eftwwt Gst fQfmt+Gtt!t/tffttttfft!^==t ^=^Yt = =t = Yt==t%t&,d,t'"t/,=d=t.zt-(Dt+3Ot*3t)t(  3t, )F )t3&B0t20t1&&t00t4Jft5rrt:LLt>Jhfht?:BVBt@ftA%AtDtC,,tE,,0tFV tOftQJtPJftUtStRJtTtWF V t_ (7tX.]t^ -tY.-It](otZ.It\.?t ")5:JLMQ\abguwy CDij *+   .0235\^acmo$49  '([\    I O P S T [ \ _ a g m z      $ + 3 8 > ? D H O U W X \ ] f m u v x }     ! # $ ) + . / 2 3 6 7 : ? C D F G K M T U ] ^ g h j s u v | }       % @ F n t u {          , - 2 3 jm24:;CDOR!"*+-.459:<=BHJNUa#%34il{|}UWhkqt'+O]exy 38BCEMWXZ[`afhyz,.& ) *!+!5!6!m!o!|!!!!!!""D"E"h"n"v"~"""""""""""""##?#A#J#K#U#V#j#k#q#r############# $ $X$Z$$$%%(%-%v%y%%%%%%&&&7&9&A&e&k&l&&&&&&&&&&&&&&&&&''#''14it CDijPQ *+tu-Z^$3934()QRvwN \ _ n q H K 7 : s u  5 6 89\]HI ij89'(23()249;BDLMABNO!rs}~a#%34jlTWgkz{pq*+12;< e7hqr|}-.% & z { !!*!+!5!6!c!d!n!o!!!!!O"P"Z"["m""""""""## # ###$$$$%%)%*%u%v%%%%%%%%% & &&&7&9&k&l&&&&&&&&&&<'I''User7C:\temp\2B>:>?8O Criteriul de divizibilitate cu 10.asdUser6C:\>8 4>:C<5=BK\Criteriul de divizibilitate cu 10.docUser6C:\>8 4>:C<5=BK\Criteriul de divizibilitate cu 10.docUser6C:\>8 4>:C<5=BK\Criteriul de divizibilitate cu 10.docUser6C:\>8 4>:C<5=BK\Criteriul de divizibilitate cu 10.docUser6C:\>8 4>:C<5=BK\Criteriul de divizibilitate cu 10.docUser7C:\temp\2B>:>?8O Criteriul de divizibilitate cu 10.asdUser7C:\temp\2B>:>?8O Criteriul de divizibilitate cu 10.asdUser6C:\>8 4>:C<5=BK\Criteriul de divizibilitate cu 10.docUserPC:\WINDOWS\ 01>G89 AB>;\Eugenia\Matematica\Criteriul de divizibilitate cu 10.doc!Pҹtp8$2o,X/,X@ҹtk3N Ij = BJ4&EXt&2ҹt6b=4th#3c,x,ҹtI.,X/),Q(@1,XH3Pt_H= 3rFDҹt4FҹtG!~GP`Fa4KVAZ6_޲#_Ķ4HXa,Xfҹti8$y,Xq~z9Flҹt&hh56789H*OJQJS*TXo(my mo(hho()hho()&hh56789H*OJQJS*TXo(mhho()hh. {o("o(&hh56789H*OJQJS*TXo(mhho()hh.hho()hho()&hh56789H*OJQJS*TXo(mhho()hho()hho() ^o({  o(&hh56789H*OJQJS*TXo(m&hh56789H*OJQJS*TXo(mhho()hho(){o(zo()o()hho()&hh56789H*OJQJS*TXo(mmo(hho()  o(&hh56789H*OJQJS*TXo(m!=4I.3c,Q(@1HXa/Gy2o2x,rFD@f4FIj _= q~_H=Fa4KpPk3N !~Gi&EXH3/Z6_6th#!@shh #$&'PPP PPPPPP&P*P.P0P:P<P>PBPJPLP@G:Times New Roman5Symbol3& :Arial7Bazooka5& :Tahoma"qh7u7uoEy& F!20[(!Criteriul de divizibilitate cu 10UserUser Oh+'0  8 D P \hpx"Criteriul de divizibilitate cu 10osritUserriuser Normal.doteUserl.d2erMicrosoft Word 8.0b@@RAv@ @   ՜.+,D՜.+,T hp  ValexuF[(j "Criteriul de divizibilitate cu 10   6> _PID_GUIDAN{716F2DC6-391F-11D7-AA47-C993AA12C719}  !"#$%&'()*+,-./0123456789:;<>?@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]^_`abcefghijkmnopqrsvRoot Entry F {v @ x1Table=LWordDocumentxSummaryInformation(dDocumentSummaryInformation8lCompObjjObjectPool@ @   F Microsoft Word MSWordDocWord.Document.89q